Fraktale einfache Erklärung. Fraktale in der Natur

Um die ganze Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es sinnvoll, auf ihre allgemein anerkannte Klassifizierung zurückzugreifen.

2.1 Geometrische Fraktale

Fraktale dieser Klasse sind am visuellsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie mithilfe einer gestrichelten Linie (oder Fläche im dreidimensionalen Fall) ermittelt, die als „…“ bezeichnet wird Generator. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes Segment, aus dem die Polylinie besteht, durch eine Generatorpolylinie im entsprechenden Maßstab ersetzt. Durch endlose Wiederholung dieses Vorgangs entsteht ein geometrisches Fraktal.

Abb. 1. Konstruktion der Koch-Triadenkurve.

Betrachten wir eines dieser fraktalen Objekte – die triadische Koch-Kurve. Die Konstruktion der Kurve beginnt mit einem Segment der Einheitslänge (Abb. 1) – dies ist die 0. Generation der Koch-Kurve. Als nächstes wird jeder Link (ein Segment in der Nullgeneration) durch ersetzt prägendes Element, in Abb. 1 mit bezeichnet n=1. Als Ergebnis dieser Ersetzung wird die nächste Generation der Koch-Kurve erhalten. In der 1. Generation ist dies eine Kurve aus vier geraden Gliedern jeder Länge 1/3 . Um die 3. Generation zu erhalten, werden die gleichen Aktionen durchgeführt – jedes Glied wird durch ein reduziertes Formelement ersetzt. Um also jede nachfolgende Generation zu erhalten, müssen alle Verbindungen der vorherigen Generation durch ein reduziertes Formelement ersetzt werden. Kurve N-te Generation für jede endliche N angerufen präfraktal. Abbildung 1 zeigt fünf Generationen der Kurve. Bei N Wenn sich die Koch-Kurve der Unendlichkeit nähert, wird sie zu einem fraktalen Objekt.

Abbildung 2. Konstruktion des Harter-Haithway „Drachen“.

Um ein weiteres fraktales Objekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das Formelement seien zwei gleiche Segmente, die im rechten Winkel verbunden sind. In der nullten Generation ersetzen wir das Einheitssegment durch dieses erzeugende Element, sodass der Winkel oben liegt. Wir können sagen, dass es bei einem solchen Austausch zu einer Verschiebung der Mitte des Glieds kommt. Bei der Konstruktion nachfolgender Generationen gilt die Regel: Das allererste Glied links wird durch ein Formelement ersetzt, sodass die Mitte des Glieds nach links von der Bewegungsrichtung verschoben wird, und beim Ersetzen nachfolgender Glieder werden die Richtungen verschoben Die Verschiebung der Segmentmitten muss abwechselnd erfolgen. Abbildung 2 zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem oben beschriebenen Prinzip aufgebauten Kurve. Fraktale Kurve begrenzen (bei N gegen Unendlich tendierend) heißt Harter-Haithways Drache .

In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale erforderlich, um Bilder von Bäumen, Büschen und Küstenlinien zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um dreidimensionale Texturen (Muster auf der Oberfläche eines Objekts) zu erzeugen.

2.2 Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Sie werden durch nichtlineare Prozesse in erhalten N-dimensionale Räume. Zweidimensionale Prozesse werden am häufigsten untersucht. Wenn man einen nichtlinearen iterativen Prozess als diskretes dynamisches System interpretiert, kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, stetiger Prozess, Attraktor usw.

Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Ausgangszustand ab. Daher verfügt jeder stabile Zustand (oder, wie man sagt, Attraktor) über einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System zwangsläufig in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems unterteilt Anziehungspunkte Attraktoren. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben erhalten Farbphasenporträt dieses System (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit bizarren mehrfarbigen Mustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mithilfe primitiver Algorithmen sehr komplexe nichttriviale Strukturen zu erzeugen.

Abb. 3. Mandelbrot-Menge.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge (siehe Abb. 3 und Abb. 4). Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck:

Z = Z[ich] * Z[i] + C,

Wo Z Ich und C- komplexe Variablen. Für jeden Startpunkt werden Iterationen durchgeführt C rechteckiger oder quadratischer Bereich – eine Teilmenge der komplexen Ebene. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z[i] wird nicht über den Kreis mit dem Radius 2 hinausgehen, dessen Mittelpunkt im Punkt (0,0) liegt (das bedeutet, dass der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen liegt) oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (zum Beispiel 200-500) Z[i] wird zu einem bestimmten Punkt auf dem Kreis konvergieren. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während denen Z[i] innerhalb des Kreises bleibt, können Sie die Farbe des Punktes festlegen C(Wenn Z[i] bleibt für eine ausreichend große Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises, der Iterationsprozess stoppt und dieser Rasterpunkt wird schwarz gefärbt.

Abb. 4. Ein Ausschnitt des Randes der Mandelbrot-Menge, 200-fach vergrößert.

Der obige Algorithmus liefert eine Näherung an die sogenannte Mandelbrot-Menge. Die Mandelbrot-Menge enthält Punkte, die während unendlich die Anzahl der Iterationen geht nicht gegen unendlich (die Punkte sind schwarz). Punkte, die zum Rand der Menge gehören (hier entstehen komplexe Strukturen), gehen in einer endlichen Anzahl von Iterationen gegen Unendlich, und Punkte, die außerhalb der Menge liegen, gehen nach mehreren Iterationen gegen Unendlich (weißer Hintergrund).

2.3 Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die entstehen, wenn einige ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert werden. In diesem Fall sind die resultierenden Objekte natürlichen Objekten sehr ähnlich – asymmetrische Bäume, zerklüftete Küsten usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden bei der Gelände- und Meeresoberflächenmodellierung verwendet.

Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung in deterministische (algebraische und geometrische) und nichtdeterministische (stochastische) Fraktale.

Was haben ein Baum, ein Meeresufer, eine Wolke oder die Blutgefäße in unserer Hand gemeinsam? Auf den ersten Blick scheint es, als hätten alle diese Objekte nichts gemeinsam. Tatsächlich gibt es jedoch eine Struktureigenschaft, die allen aufgeführten Objekten innewohnt: Sie sind selbstähnlich. Von einem Ast, wie von einem Baumstamm, gehen kleinere Triebe aus, von ihnen noch kleinere usw., das heißt, ein Ast gleicht dem ganzen Baum. Das Kreislaufsystem ist ähnlich aufgebaut: Von den Arterien gehen Arteriolen ab und von ihnen die kleinsten Kapillaren, durch die Sauerstoff in die Organe und Gewebe gelangt. Schauen wir uns Satellitenbilder der Meeresküste an: Wir werden Buchten und Halbinseln sehen; Schauen wir es uns an, aber aus der Vogelperspektive: Wir werden Buchten und Kaps sehen; Stellen Sie sich nun vor, wir stehen am Strand und schauen auf unsere Füße: Es wird immer Kieselsteine ​​geben, die weiter ins Wasser ragen als der Rest. Das heißt, die Küstenlinie bleibt beim Vergrößern sich selbst ähnlich. Der amerikanische Mathematiker (obwohl er in Frankreich aufgewachsen ist) Benoit Mandelbrot nannte diese Eigenschaft von Objekten Fraktalität, und solche Objekte selbst nannten sie Fraktale (vom lateinischen fractus – gebrochen).

Für dieses Konzept gibt es keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Typischerweise ist ein Fraktal eine geometrische Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt: Sie hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur (im Gegensatz beispielsweise zu einer geraden Linie, deren Teil die einfachste geometrische Figur ist – ein Segment). ). Ist (annähernd) selbstähnlich. Es hat eine gebrochene Hausdorff-Dimension (Fraktal), die größer ist als die topologische Dimension. Kann mit rekursiven Verfahren konstruiert werden.

Geometrie und Algebra

Die Untersuchung von Fraktalen an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war eher episodisch als systematisch, da Mathematiker zuvor hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien untersucht werden konnten. Im Jahr 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Allerdings war seine Konstruktion völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher entwickelte der Schwede Helge von Koch im Jahr 1904 eine kontinuierliche Kurve, die nirgends eine Tangente aufweist und recht einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variante dieser Kurve wird „Koch-Schneeflocke“ genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden vom Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. Im Jahr 1938 erschien sein Artikel „Ebene und räumliche Kurven und Flächen, die aus Teilen ähnlich dem Ganzen bestehen“, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wurde – die Levy-C-Kurve. Alle oben aufgeführten Fraktale können bedingt als eine Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale klassifiziert werden.

Eine weitere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Forschungen in diese Richtung begannen zu Beginn des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. Im Jahr 1918 veröffentlichte Julia eine fast zweihundertseitige Abhandlung über Iterationen komplexer rationaler Funktionen, in der Julia-Mengen beschrieben wurden, eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Dieses Werk wurde von der Französischen Akademie mit einem Preis ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der offenen Objekte nicht zu würdigen war. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit. Erst ein halbes Jahrhundert später rückte sie mit dem Aufkommen der Computer wieder in den Fokus: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten.

Fraktale Dimensionen

Wie Sie wissen, ist die Dimension (Anzahl der Dimensionen) einer geometrischen Figur die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um die Position eines auf dieser Figur liegenden Punktes zu bestimmen.
Beispielsweise wird die Position eines Punktes auf einer Kurve durch eine Koordinate, auf einer Oberfläche (nicht unbedingt einer Ebene) durch zwei Koordinaten und im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten bestimmt.
Aus einer allgemeineren mathematischen Sicht kann man die Dimension folgendermaßen definieren: Eine Vergrößerung der linearen Dimensionen, beispielsweise um den Faktor zwei, für eindimensionale (topologische) Objekte (Segmente) führt zu eine Vergrößerung der Größe (Länge) um den Faktor zwei, bei zweidimensionalen (ein Quadrat) führt die gleiche Vergrößerung der linearen Abmessungen zu einer Vergrößerung der Größe (Fläche) um das Vierfache, bei dreidimensionalen (Würfel) - um 8 Mal. Das heißt, die „reale“ (sogenannte Hausdorff-)Dimension kann als Verhältnis des Logarithmus der Zunahme der „Größe“ eines Objekts zum Logarithmus der Zunahme seiner linearen Größe berechnet werden. Das heißt, für ein Segment D=log (2)/log (2)=1, für eine Ebene D=log (4)/log (2)=2, für ein Volumen D=log (8)/log (2). )=3.
Berechnen wir nun die Dimension der Koch-Kurve, zu deren Konstruktion ein Einheitssegment in drei gleiche Teile geteilt und das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne dieses Segment ersetzt wird. Wenn sich die linearen Abmessungen des minimalen Segments verdreifachen, erhöht sich die Länge der Koch-Kurve um log (4)/log (3) ~ 1,26. Das heißt, die Dimension der Koch-Kurve ist gebrochen!

Wissenschaft und Kunst

Im Jahr 1982 erschien Mandelbrots Buch „Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte in seinem Vortrag den Schwerpunkt nicht auf schwere Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergestützter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie gekonnt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und Fraktale wurden der breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg unter Nicht-Mathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe sehr einfacher Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Als Personalcomputer leistungsfähig genug wurden, entstand sogar eine ganze Richtung in der Kunst – die fraktale Malerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte sie beherrschen. Mittlerweile können Sie im Internet problemlos viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.

Schema zum Erhalten der Koch-Kurve

Krieg und Frieden

Wie oben erwähnt, ist die Küste eines der natürlichen Objekte mit fraktalen Eigenschaften. Damit ist eine interessante Geschichte verbunden, genauer gesagt mit dem Versuch, seine Länge zu messen, die die Grundlage für Mandelbrots wissenschaftlichen Artikel bildete und auch in seinem Buch „Fractal Geometry of Nature“ beschrieben wird. Wir sprechen über ein Experiment von Lewis Richardson, einem sehr talentierten und exzentrischen Mathematiker, Physiker und Meteorologen. Eine seiner Forschungsrichtungen war der Versuch, eine mathematische Beschreibung der Ursachen und Wahrscheinlichkeit eines bewaffneten Konflikts zwischen zwei Ländern zu finden. Zu den Parametern, die er berücksichtigte, gehörte auch die Länge der gemeinsamen Grenze der beiden verfeindeten Länder. Als er Daten für numerische Experimente sammelte, stellte er fest, dass sich die Daten zur gemeinsamen Grenze zwischen Spanien und Portugal aus verschiedenen Quellen stark unterschieden. Dies führte ihn zu folgender Entdeckung: Die Länge der Grenzen eines Landes hängt von dem Lineal ab, mit dem wir sie messen. Je kleiner der Maßstab, desto länger der Rand. Dies liegt daran, dass mit größerer Vergrößerung immer mehr neue Küstenkrümmungen berücksichtigt werden können, die bisher aufgrund der Grobheit der Messungen unberücksichtigt blieben. Und wenn mit jeder Vergrößerung des Maßstabs bisher unerklärte Krümmungen der Linien sichtbar werden, dann stellt sich heraus, dass die Länge der Grenzen unendlich ist! Das ist allerdings nicht der Fall – die Genauigkeit unserer Messungen hat eine endliche Grenze. Dieses Paradoxon wird Richardson-Effekt genannt.

Konstruktive (geometrische) Fraktale

Der Algorithmus zum Konstruieren eines konstruktiven Fraktals im allgemeinen Fall ist wie folgt. Zunächst benötigen wir zwei passende geometrische Formen, nennen wir sie Basis und Fragment. Im ersten Schritt wird die Grundlage des zukünftigen Fraktals dargestellt. Dann werden einige seiner Teile durch ein Fragment in geeignetem Maßstab ersetzt – dies ist die erste Iteration der Konstruktion. Dann verwandelt die resultierende Figur wieder einige Teile in fragmentähnliche Figuren usw. Wenn wir diesen Prozess bis ins Unendliche fortsetzen, erhalten wir im Grenzfall ein Fraktal.

Schauen wir uns diesen Vorgang am Beispiel der Koch-Kurve an (siehe Seitenleiste auf der vorherigen Seite). Als Grundlage für die Koch-Kurve kann jede beliebige Kurve herangezogen werden (bei der „Koch-Schneeflocke“ ist es ein Dreieck). Wir beschränken uns jedoch auf den einfachsten Fall – ein Segment. Das Fragment ist eine gestrichelte Linie, die oben in der Abbildung dargestellt ist. Nach der ersten Iteration des Algorithmus fällt in diesem Fall das ursprüngliche Segment mit dem Fragment zusammen, dann wird jedes seiner konstituierenden Segmente selbst durch eine gestrichelte Linie ähnlich dem Fragment usw. ersetzt. Die Abbildung zeigt die ersten vier Schritte davon Verfahren.

In der Sprache der Mathematik: dynamische (algebraische) Fraktale

Fraktale dieser Art entstehen bei der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme (daher der Name). Das Verhalten eines solchen Systems kann durch eine komplexe nichtlineare Funktion (Polynom) f (z) beschrieben werden. Nehmen wir einen Anfangspunkt z0 auf der komplexen Ebene (siehe Seitenleiste). Betrachten Sie nun eine solche unendliche Folge von Zahlen auf der komplexen Ebene, von denen jede nächste aus der vorherigen erhalten wird: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Abhängig vom Anfangspunkt z0 kann sich eine solche Folge unterschiedlich verhalten: gegen Unendlich tendieren als n -> ∞; zu einem Endpunkt konvergieren; Nehmen Sie zyklisch eine Reihe fester Werte an. Auch komplexere Optionen sind möglich.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei Teilen besteht – reellen und imaginären, also der formalen Summe x + iy (x und y sind hier reelle Zahlen). ich bin der sogenannte imaginäre Einheit, also eine Zahl, die die Gleichung erfüllt ich^ 2 = -1. Die grundlegenden mathematischen Operationen für komplexe Zahlen sind definiert: Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion (nur die Vergleichsoperation ist nicht definiert). Um komplexe Zahlen anzuzeigen, wird häufig eine geometrische Darstellung verwendet: Auf der Ebene (sie wird als komplex bezeichnet) wird der Realteil entlang der Abszissenachse und der Imaginärteil entlang der Ordinatenachse aufgetragen, und die komplexe Zahl entspricht ein Punkt mit kartesischen Koordinaten x und y.

Somit hat jeder Punkt z der komplexen Ebene sein eigenes Verhalten während der Iterationen der Funktion f (z) und die gesamte Ebene wird in Teile geteilt. Darüber hinaus haben die an den Grenzen dieser Teile liegenden Punkte die folgende Eigenschaft: Bei einer beliebig kleinen Verschiebung ändert sich die Art ihres Verhaltens stark (solche Punkte werden Bifurkationspunkte genannt). Es stellt sich also heraus, dass Mengen von Punkten, die einen bestimmten Verhaltenstyp aufweisen, sowie Mengen von Bifurkationspunkten häufig fraktale Eigenschaften haben. Dies sind die Julia-Mengen für die Funktion f(z).

Drachenfamilie

Durch Variation der Basis und des Fragments können Sie eine atemberaubende Vielfalt an konstruktiven Fraktalen erhalten.
Darüber hinaus können ähnliche Operationen im dreidimensionalen Raum durchgeführt werden. Beispiele für volumetrische Fraktale sind der „Menger-Schwamm“, die „Sierpinski-Pyramide“ und andere.
Auch die Drachenfamilie gilt als konstruktives Fraktal. Manchmal werden sie mit dem Namen ihrer Entdecker „Heavey-Harter-Drachen“ genannt (in ihrer Form ähneln sie chinesischen Drachen). Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Kurve zu konstruieren. Die einfachste und anschaulichste davon ist folgende: Sie müssen einen ziemlich langen Papierstreifen nehmen (je dünner das Papier, desto besser) und ihn in zwei Hälften biegen. Biegen Sie es dann erneut in der gleichen Richtung wie beim ersten Mal in zwei Hälften. Nach mehreren Wiederholungen (normalerweise wird der Streifen nach fünf oder sechs Falten zu dick, um sanft weiter gebogen zu werden) müssen Sie den Streifen zurückbiegen und versuchen, an den Falten einen 90°-Winkel zu erzeugen. Dann erhalten Sie im Profil die Kurve eines Drachen. Dies wird natürlich nur eine Annäherung sein, wie alle unsere Versuche, fraktale Objekte abzubilden. Mit dem Computer lassen sich viele weitere Schritte dieses Prozesses darstellen, und das Ergebnis ist eine sehr schöne Figur.

Die Mandelbrot-Menge ist etwas anders aufgebaut. Betrachten Sie die Funktion fc (z) = z 2 +c, wobei c eine komplexe Zahl ist. Konstruieren wir eine Folge dieser Funktion mit z0=0; je nach Parameter c kann sie bis ins Unendliche divergieren oder begrenzt bleiben. Darüber hinaus bilden alle Werte von c, für die diese Folge begrenzt ist, die Mandelbrot-Menge. Es wurde von Mandelbrot selbst und anderen Mathematikern eingehend untersucht, die viele interessante Eigenschaften dieser Menge entdeckten.

Es ist ersichtlich, dass die Definitionen der Julia- und Mandelbrot-Mengen einander ähnlich sind. Tatsächlich sind diese beiden Mengen eng miteinander verbunden. Die Mandelbrot-Menge besteht nämlich aus allen Werten des komplexen Parameters c, für die die Julia-Menge fc(z) zusammenhängend ist (eine Menge heißt zusammenhängend, wenn sie mit einigen zusätzlichen Bedingungen nicht in zwei disjunkte Teile geteilt werden kann).

Fraktale und Leben

Heutzutage wird die Fraktaltheorie in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit häufig eingesetzt. Neben einem rein wissenschaftlichen Forschungsobjekt und der bereits erwähnten Fraktalmalerei werden Fraktale in der Informationstheorie zur Komprimierung grafischer Daten verwendet (hier wird hauptsächlich die Selbstähnlichkeitseigenschaft von Fraktalen genutzt – schließlich um sich einen kleinen Bildausschnitt zu merken). und die Transformationen, mit denen Sie die restlichen Teile erhalten können, benötigen viel weniger Speicher als für die Speicherung der gesamten Datei. Durch das Hinzufügen zufälliger Störungen zu den Formeln, die ein Fraktal definieren, können Sie stochastische Fraktale erhalten, die einige reale Objekte – Reliefelemente, die Oberfläche von Stauseen, einige Pflanzen – sehr plausibel wiedergeben, was in der Physik, Geographie und Computergrafik erfolgreich eingesetzt wird, um mehr zu erreichen Ähnlichkeit simulierter Objekte mit realen. In der Radioelektronik begann man im letzten Jahrzehnt mit der Produktion von Antennen mit fraktaler Form. Sie nehmen wenig Platz ein und sorgen für einen hochwertigen Signalempfang. Ökonomen verwenden Fraktale zur Beschreibung von Währungsschwankungskurven (diese Eigenschaft wurde vor mehr als 30 Jahren von Mandelbrot entdeckt). Damit endet dieser kurze Ausflug in die unglaublich schöne und vielfältige Welt der Fraktale.

Ich habe dieses Fraktal entdeckt, als ich die Interferenz von Wellen auf der Oberfläche eines Flusses betrachtete. Die Welle bewegt sich Richtung Ufer, wird reflektiert und überlagert sich. Gibt es Ordnung in den Mustern, die Wellen erzeugen? Versuchen wir, ihn zu finden. Betrachten wir nicht die gesamte Welle, sondern nur den Vektor ihrer Bewegung. Machen wir die „Ufer“ glatt, um das Experiment zu vereinfachen.

Das Experiment kann auf einem normalen Blatt Papier aus einem Schulheft durchgeführt werden.

Oder verwenden Sie eine JavaScript-Implementierung des Algorithmus.

Nehmen Sie ein Rechteck mit den Seiten q und p. Lassen Sie uns einen Strahl (Vektor) von Ecke zu Ecke senden. Der Strahl bewegt sich auf eine Seite des Rechtecks, wird reflektiert und bewegt sich weiter auf die nächste Seite. Dies wird so lange fortgesetzt, bis der Strahl eine der verbleibenden Ecken trifft. Wenn die Seitengrößen q und p relativ Primzahlen sind, erhält man ein Muster (wie wir später sehen werden – ein Fraktal).

Auf dem Bild können wir deutlich sehen, wie dieser Algorithmus funktioniert.

GIF-Animation:

Das Erstaunlichste ist, dass wir mit verschiedenen Seiten des Rechtecks ​​​​unterschiedliche Muster erhalten.

Warum nenne ich diese Muster Fraktale? Wie Sie wissen, ist ein „Fraktal“ eine geometrische Figur mit Selbstähnlichkeitseigenschaften. Ein Teil des Bildes wiederholt das ganze Bild. Wenn man die Abmessungen der Seiten Q und P deutlich vergrößert, wird deutlich, dass diese Muster Selbstähnlichkeitseigenschaften aufweisen.

Versuchen wir, es zu erhöhen. Wir werden es auf raffinierte Weise erhöhen. Nehmen wir als Beispiel das 17x29-Muster. Die folgenden Muster sind: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Eine Seite: F(n);
Zweite Seite: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Wie Fibonacci-Zahlen, nur mit unterschiedlichem ersten und zweiten Glied der Folge: F(0)=17, F(1)=29.

Wenn die größere Seite gerade ist, ergibt sich folgendes Muster:

Wenn die kürzere Seite gerade ist:

Wenn beide Seiten ungerade sind, erhalten wir ein symmetrisches Muster:

Abhängig davon, wie der Strahl beginnt:

oder

Ich werde versuchen zu erklären, was in diesen Rechtecken passiert.

Lassen Sie uns das Quadrat vom Rechteck trennen und sehen, was an der Grenze passiert.

Der Strahl tritt an der gleichen Stelle aus, an der er eingetreten ist.

Gleichzeitig ist die Anzahl der Quadrate, die der Strahl durchquert, immer eine gerade Zahl.

Wenn Sie also ein Quadrat von einem Rechteck abschneiden, bleibt ein unveränderter Teil des Fraktals übrig.

Wenn Sie die Quadrate so oft wie möglich vom Fraktal trennen, gelangen Sie zum „Anfang“ des Fraktals.

Sieht es aus wie eine Fibonacci-Spirale?

Fraktale können auch aus Fibonacci-Zahlen gewonnen werden.

In der Mathematik sind Fibonacci-Zahlen (Fibonacci-Reihe, Fibonacci-Folge) die Zahlen:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Per Definition sind die ersten beiden Ziffern der Fibonacci-Folge 0 und 1, und jede nachfolgende Zahl ist gleich der Summe der beiden vorherigen.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Gehen:

Wie wir sehen können, ist die Detailgenauigkeit des Fraktals umso größer, je näher sich das Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt annähert.

In diesem Fall wiederholt das Fraktal einen Teil des Fraktals, erhöht um .

Anstelle von Fibonacci-Zahlen können Sie auch irrationale Seitengrößen verwenden:

Wir erhalten das gleiche Fraktal.

Die gleichen Fraktale können in einem Quadrat erhalten werden, wenn man den Strahl aus einem anderen Winkel abfeuert:

Was können Sie abschließend sagen?
Chaos ist auch Ordnung. Mit seinen eigenen Gesetzen. Diese Reihenfolge wurde nicht untersucht, kann aber durchaus studiert werden. Und der ganze Wunsch der Wissenschaft besteht darin, diese Muster zu entdecken. Und letztendlich die Puzzleteile verbinden, um das Gesamtbild zu sehen.
Schauen wir uns die Oberfläche des Flusses an. Wenn man einen Stein darauf wirft, kommen Wellen. Kreise, die sich gut studieren lassen. Geschwindigkeit, Periode, Wellenlänge – all das lässt sich berechnen. Doch bis die Welle das Ufer erreicht, wird sie nicht reflektiert und beginnt sich zu überlappen. Wir bekommen Chaos (Interferenz), was ohnehin schon schwer zu studieren ist.
Was wäre, wenn wir uns aus der entgegengesetzten Richtung bewegen? Vereinfachen Sie das Verhalten der Welle so weit wie möglich. Vereinfachen Sie, finden Sie ein Muster und versuchen Sie dann, das Gesamtbild des Geschehens zu beschreiben.
Was kann vereinfacht werden? Machen Sie die reflektierende Oberfläche natürlich gerade und ohne Biegungen. Als nächstes verwenden Sie anstelle der Welle selbst nur den Wellenbewegungsvektor. Im Prinzip reicht dies aus, um einen einfachen Algorithmus zu erstellen und den Vorgang am Computer zu simulieren. Und es reicht sogar völlig aus, ein „Modell“ des Wellenverhaltens auf einem gewöhnlichen karierten Blatt Papier zu erstellen.
Was haben wir als Ergebnis? Als Ergebnis sehen wir, dass wir bei Wellenprozessen (den gleichen Wellen auf der Oberfläche eines Flusses) kein Chaos haben, sondern eine Überlagerung von Fraktalen (selbstähnlichen Strukturen) übereinander.

Betrachten wir eine andere Art von Wellen. Bekanntlich besteht eine elektromagnetische Welle aus drei Vektoren – dem Wellenvektor und dem elektrischen und magnetischen Feldstärkevektor. Wie wir sehen können, erhalten wir ganz klare geschlossene Strukturen, wenn wir eine solche Welle in einem geschlossenen Bereich „fangen“, in dem sich diese Vektoren schneiden. Vielleicht sind Elementarteilchen die gleichen Fraktale?

Alle Fraktale in Rechtecken von 1 bis 80 (6723x6723 px):

Geschlossene Bereiche in Fraktalen (6723x6723 px):

Einfach ein wunderschönes Fraktal (4078x2518 px):

Oftmals können brillante wissenschaftliche Entdeckungen unser Leben radikal verändern. Beispielsweise kann die Erfindung eines Impfstoffs viele Menschen retten, aber die Entwicklung neuer Waffen führt zu Mord. Im wahrsten Sinne des Wortes hat der Mensch gestern (im Maßstab der Geschichte) die Elektrizität „gezähmt“, und heute kann er sich ein Leben ohne sie nicht mehr vorstellen. Es gibt jedoch auch Entdeckungen, die, wie man so sagt, im Schatten bleiben, obwohl sie auch den einen oder anderen Einfluss auf unser Leben haben. Eine dieser Entdeckungen war das Fraktal. Die meisten Menschen haben noch nie von diesem Konzept gehört und werden nicht in der Lage sein, seine Bedeutung zu erklären. In diesem Artikel werden wir versuchen, die Frage zu verstehen, was ein Fraktal ist, und die Bedeutung dieses Begriffs aus wissenschaftlicher und naturwissenschaftlicher Sicht betrachten.

Ordnung im Chaos

Um zu verstehen, was ein Fraktal ist, sollten wir die Nachbesprechung vom Standpunkt der Mathematik aus beginnen, aber bevor wir uns damit befassen, werden wir ein wenig philosophieren. Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, dank derer er etwas über die Welt um ihn herum lernt. Auf seiner Suche nach Wissen versucht er oft, bei seinen Urteilen Logik zu verwenden. So versucht er durch die Analyse der Prozesse, die um ihn herum ablaufen, Zusammenhänge zu berechnen und bestimmte Muster abzuleiten. Die größten Köpfe der Welt sind damit beschäftigt, diese Probleme zu lösen. Grob gesagt suchen unsere Wissenschaftler nach Mustern, wo es keine gibt und auch keine geben sollte. Und doch gibt es auch im Chaos einen Zusammenhang zwischen bestimmten Ereignissen. Diese Verbindung ist das, was das Fraktal ausmacht. Betrachten Sie als Beispiel einen abgebrochenen Ast, der auf der Straße liegt. Wenn wir es genau betrachten, erkennen wir, dass es mit all seinen Ästen und Zweigen selbst wie ein Baum aussieht. Diese Ähnlichkeit eines einzelnen Teils mit einem einzigen Ganzen weist auf das sogenannte Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit hin. Fraktale kommen in der Natur überall vor, da viele anorganische und organische Formen auf ähnliche Weise entstehen. Das sind Wolken, Muscheln, Schneckenhäuser, Baumkronen und sogar das Kreislaufsystem. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese zufälligen Formen lassen sich leicht durch einen fraktalen Algorithmus beschreiben. Nun sind wir dazu gekommen, aus der Perspektive der exakten Wissenschaften zu betrachten, was ein Fraktal ist.

Ein paar trockene Fakten

Das Wort „Fraktal“ selbst wird aus dem Lateinischen mit „teilweise“, „geteilt“, „fragmentiert“ übersetzt, und was den Inhalt dieses Begriffs betrifft, gibt es keine Formulierung als solche. Es wird üblicherweise als eine selbstähnliche Menge interpretiert, ein Teil des Ganzen, das seine Struktur auf der Mikroebene wiederholt. Dieser Begriff wurde in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts von Benoit Mandelbrot geprägt, der als Vater gilt. Heute bedeutet der Begriff „Fraktal“ ein grafisches Bild einer bestimmten Struktur, das, wenn es vergrößert wird, sich selbst ähnelt. Die mathematische Grundlage für die Erstellung dieser Theorie wurde jedoch bereits vor der Geburt Mandelbrots selbst gelegt, sie konnte sich jedoch erst mit dem Erscheinen elektronischer Computer entwickeln.

Historischer Hintergrund oder wie alles begann

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war die Erforschung der Natur von Fraktalen nur sporadisch. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass Mathematiker es vorzogen, Objekte zu untersuchen, die auf der Grundlage allgemeiner Theorien und Methoden erforscht werden konnten. Im Jahr 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker K. Weierstrass ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgendwo differenzierbar ist. Allerdings erwies sich diese Konstruktion als völlig abstrakt und schwer zu erkennen. Als nächstes kam der Schwede Helge von Koch, der 1904 eine durchgehende Kurve konstruierte, die nirgends eine Tangente aufwies. Es ist ziemlich einfach zu zeichnen und weist fraktale Eigenschaften auf. Eine der Varianten dieser Kurve wurde nach ihrem Autor benannt – „Koch-Schneeflocke“. Darüber hinaus wurde die Idee der Selbstähnlichkeit von Figuren vom zukünftigen Mentor von B. Mandelbrot, dem Franzosen Paul Levy, entwickelt. 1938 veröffentlichte er den Artikel „Fläche und räumliche Kurven und Flächen bestehend aus gesamtähnlichen Teilen“. Darin beschrieb er einen neuen Typ – die Lewy-C-Kurve. Alle oben genannten Figuren werden herkömmlicherweise als geometrische Fraktale klassifiziert.

Dynamische oder algebraische Fraktale

Die Mandelbrot-Menge gehört zu dieser Klasse. Die ersten Forscher in dieser Richtung waren die französischen Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia. Im Jahr 1918 veröffentlichte Julia eine Arbeit, die auf der Untersuchung von Iterationen rationaler komplexer Funktionen basierte. Hier beschrieb er eine Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Obwohl dieses Werk den Autor unter Mathematikern verherrlichte, geriet es schnell in Vergessenheit. Und nur ein halbes Jahrhundert später erhielt Julias Werk dank Computern ein zweites Leben. Computer ermöglichten es, jedem Menschen die Schönheit und den Reichtum der Welt der Fraktale sichtbar zu machen, die Mathematiker „sehen“ konnten, indem sie sie durch Funktionen darstellten. Mandelbrot war der erste, der mithilfe eines Computers Berechnungen durchführte (ein solches Volumen kann nicht manuell durchgeführt werden), die es ermöglichten, ein Bild dieser Figuren zu konstruieren.

Eine Person mit räumlichem Vorstellungsvermögen

Mandelbrot begann seine wissenschaftliche Karriere am IBM Research Center. Bei der Untersuchung der Möglichkeiten der Datenübertragung über große Entfernungen wurden Wissenschaftler mit der Tatsache konfrontiert, dass aufgrund von Rauschstörungen große Verluste auftreten. Benoit suchte nach Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Bei der Durchsicht der Messergebnisse fiel ihm ein merkwürdiges Muster auf: Die Lärmkurven sahen auf verschiedenen Zeitskalen gleich aus.

Ein ähnliches Bild wurde sowohl für einen Tag als auch für sieben Tage oder eine Stunde beobachtet. Benoit Mandelbrot selbst wiederholte oft, dass er nicht mit Formeln arbeite, sondern mit Bildern spiele. Dieser Wissenschaftler zeichnete sich durch einfallsreiches Denken aus; er übersetzte jedes algebraische Problem in den geometrischen Bereich, wo die richtige Antwort offensichtlich ist. Daher ist es nicht verwunderlich, dass er sich durch seinen Reichtum auszeichnete und zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kann man sich dieser Figur nur bewusst werden, wenn man die Zeichnungen studiert und über die Bedeutung dieser seltsamen Wirbel nachdenkt, die das Muster bilden. Fraktale Muster haben keine identischen Elemente, sind aber in jedem Maßstab ähnlich.

Julia - Mandelbrot

Eine der ersten Zeichnungen dieser Figur war eine grafische Interpretation des Sets, die aus der Arbeit von Gaston Julia hervorging und von Mandelbrot weiterentwickelt wurde. Gaston versuchte sich vorzustellen, wie ein Set aussehen würde, basierend auf einer einfachen Formel, die durch eine Rückkopplungsschleife wiederholt wurde. Versuchen wir, das Gesagte sozusagen in menschlicher Sprache an den Fingern zu erklären. Für einen bestimmten Zahlenwert ermitteln wir mithilfe einer Formel einen neuen Wert. Wir setzen es in die Formel ein und finden Folgendes. Das Ergebnis ist groß. Um eine solche Menge darzustellen, muss diese Operation sehr oft ausgeführt werden: Hunderte, Tausende, Millionen. Das hat Benoit getan. Er verarbeitete die Sequenz und übertrug die Ergebnisse in eine grafische Form. Anschließend färbte er die resultierende Figur ein (jede Farbe entspricht einer bestimmten Anzahl von Iterationen). Dieses grafische Bild wurde „Mandelbrot-Fraktal“ genannt.

L. Carpenter: Von der Natur geschaffene Kunst

Die Theorie der Fraktale fand schnell praktische Anwendung. Da es sehr eng mit der Visualisierung selbstähnlicher Bilder zusammenhängt, waren Künstler die ersten, die die Prinzipien und Algorithmen zur Konstruktion dieser ungewöhnlichen Formen übernahmen. Die erste von ihnen war die zukünftige Gründerin von Pixar, Lauren Carpenter. Während er an einer Präsentation von Flugzeugprototypen arbeitete, kam ihm die Idee, ein Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heutzutage kann fast jeder Computerbenutzer eine solche Aufgabe bewältigen, doch in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts waren Computer nicht in der Lage, solche Prozesse auszuführen, da es zu dieser Zeit keine grafischen Editoren oder Anwendungen für dreidimensionale Grafiken gab. Und dann stieß Loren auf Mandelbrots Buch „Fractals: Form, Randomness and Dimension“. Darin führte Benoit viele Beispiele an und zeigte, dass Fraktale in der Natur existieren (fyva), er beschrieb ihre vielfältigen Formen und bewies, dass sie sich leicht durch mathematische Ausdrücke beschreiben lassen. Der Mathematiker führte diese Analogie als Argument für die Nützlichkeit der Theorie an, die er als Reaktion auf die heftige Kritik seiner Kollegen entwickelte. Sie argumentierten, dass ein Fraktal nur ein hübsches Bild sei, keinen Wert habe und ein Nebenprodukt der Arbeit elektronischer Maschinen sei. Carpenter beschloss, diese Methode in der Praxis auszuprobieren. Nach sorgfältigem Studium des Buches begann der zukünftige Animator nach einer Möglichkeit zu suchen, fraktale Geometrie in Computergrafiken umzusetzen. Er brauchte nur drei Tage, um ein völlig realistisches Bild der Berglandschaft auf seinem Computer darzustellen. Und heute ist dieses Prinzip weit verbreitet. Wie sich herausstellt, erfordert die Erstellung von Fraktalen nicht viel Zeit und Mühe.

Zimmermannslösung

Das Prinzip, das Lauren verwendete, war einfach. Es besteht darin, größere in kleine Elemente zu unterteilen, diese wiederum in ähnliche kleinere und so weiter. Carpenter teilte große Dreiecke in vier kleine auf und so weiter, bis er eine realistische Berglandschaft hatte. Damit war er der erste Künstler, der einen fraktalen Algorithmus in der Computergrafik verwendete, um das erforderliche Bild zu konstruieren. Heute wird dieses Prinzip genutzt, um verschiedene realistische Naturformen nachzuahmen.

Die erste 3D-Visualisierung mit einem fraktalen Algorithmus

Einige Jahre später wandte Lauren seine Entwicklungen in einem Großprojekt an – dem Animationsvideo Vol Libre, das 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte viele und sein Schöpfer wurde eingeladen, bei Lucasfilm zu arbeiten. Hier konnte der Animator sein volles Potenzial entfalten; er schuf dreidimensionale Landschaften (einen ganzen Planeten) für den Spielfilm „Star Trek“. Jedes moderne Programm („Fractals“) oder jede Anwendung zum Erstellen von 3D-Grafiken (Terragen, Vue, Bryce) verwendet denselben Algorithmus zur Modellierung von Texturen und Oberflächen.

Tom Beddard

Beddard, früher Laserphysiker und heute Digitalkünstler und Künstler, schuf eine Reihe sehr faszinierender geometrischer Formen, die er Fabergé-Fraktale nannte. Äußerlich ähneln sie dekorativen Eiern eines russischen Juweliers; sie haben das gleiche brillante, komplizierte Muster. Beddard verwendete eine Vorlagenmethode, um seine digitalen Renderings der Modelle zu erstellen. Die daraus resultierenden Produkte bestechen durch ihre Schönheit. Obwohl sich viele weigern, ein handgefertigtes Produkt mit einem Computerprogramm zu vergleichen, muss man zugeben, dass die resultierenden Formen äußerst schön sind. Der Clou ist, dass jeder mit der WebGL-Softwarebibliothek ein solches Fraktal erstellen kann. Es ermöglicht Ihnen, verschiedene fraktale Strukturen in Echtzeit zu erkunden.

Fraktale in der Natur

Nur wenige Menschen achten darauf, aber diese erstaunlichen Figuren sind überall präsent. Die Natur entsteht aus sich selbst ähnelnden Figuren, wir merken es nur nicht. Es reicht aus, durch eine Lupe auf unsere Haut oder ein Blatt eines Baumes zu schauen, und schon werden wir Fraktale sehen. Oder nehmen Sie zum Beispiel eine Ananas oder sogar einen Pfauenschwanz – sie bestehen aus ähnlichen Figuren. Und die Brokkolisorte Romanescu fällt generell durch ihr Aussehen auf, denn man kann sie wahrlich als Wunder der Natur bezeichnen.

Musikalische Pause

Es stellt sich heraus, dass Fraktale nicht nur geometrische Formen sind, sondern auch Klänge sein können. So schreibt der Musiker Jonathan Colton Musik mithilfe fraktaler Algorithmen. Es erhebt den Anspruch, der natürlichen Harmonie zu entsprechen. Der Komponist veröffentlicht alle seine Werke unter einer CreativeCommons-Lizenz „Namensnennung – nicht kommerziell“, die die kostenlose Verbreitung, Vervielfältigung und Übertragung der Werke an andere vorsieht.

Fraktaler Indikator

Diese Technik hat eine sehr unerwartete Anwendung gefunden. Auf dieser Grundlage wurde ein Tool zur Analyse des Börsenmarktes geschaffen und in der Folge auch auf dem Forex-Markt eingesetzt. Heutzutage ist der Fraktalindikator auf allen Handelsplattformen zu finden und wird in einer Handelstechnik namens Preisausbruch verwendet. Diese Technik wurde von Bill Williams entwickelt. Wie der Autor seine Erfindung kommentiert, handelt es sich bei diesem Algorithmus um eine Kombination mehrerer „Kerzen“, bei denen die mittlere den maximalen oder umgekehrt minimalen Extrempunkt widerspiegelt.

Abschließend

Also haben wir uns angesehen, was ein Fraktal ist. Es stellt sich heraus, dass es in dem Chaos, das uns umgibt, tatsächlich ideale Formen gibt. Die Natur ist der beste Architekt, ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch aufgebaut, und wenn wir kein Muster finden, heißt das nicht, dass es nicht existiert. Vielleicht müssen wir in einem anderen Maßstab schauen. Wir können mit Sicherheit sagen, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, die wir noch entdecken müssen.

Hallo zusammen! Ich heiße, Ribenek Valeria, Uljanowsk und heute werde ich mehrere meiner wissenschaftlichen Artikel auf der LCI-Website veröffentlichen.

Dem werde ich meinen ersten wissenschaftlichen Artikel in diesem Blog widmen Fraktale. Ich muss gleich sagen, dass meine Artikel für fast jedes Publikum gedacht sind. Diese. Ich hoffe, dass sie sowohl für Schüler als auch für Studenten von Interesse sind.

Kürzlich habe ich so interessante Objekte der mathematischen Welt wie Fraktale kennengelernt. Aber es gibt sie nicht nur in der Mathematik. Sie umgeben uns überall. Fraktale sind natürlich. Ich werde in diesem Artikel darüber sprechen, was Fraktale sind, über die Arten von Fraktalen, über Beispiele dieser Objekte und ihre Anwendungen. Zunächst erkläre ich Ihnen kurz, was ein Fraktal ist.

Fraktal(lateinisch fractus – zerquetscht, zerbrochen, zerbrochen) ist eine komplexe geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt, also aus mehreren Teilen besteht, von denen jeder der gesamten Figur ähnlich ist. Im weiteren Sinne versteht man unter Fraktalen Mengen von Punkten im euklidischen Raum, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine von der topologischen abweichende metrische Dimension haben. Als Beispiel füge ich ein Bild ein, das vier verschiedene Fraktale zeigt.

Ich erzähle Ihnen ein wenig über die Geschichte der Fraktale. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre bei Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Das Wort „Fraktal“ wurde 1975 von Benoit Mandelbrot geprägt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, mit denen er sich beschäftigte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zu vereinen.

Es gibt viele Beispiele für Fraktale, denn sie umgeben uns, wie gesagt, überall. Meiner Meinung nach ist sogar unser gesamtes Universum ein riesiges Fraktal. Schließlich wiederholt sich alles darin, von der Struktur des Atoms bis zur Struktur des Universums selbst, exakt. Aber es gibt natürlich auch konkretere Beispiele für Fraktale aus anderen Bereichen. Fraktale beispielsweise liegen in komplexen Dynamiken vor. Dort tauchen sie natürlicherweise im Studium der Nichtlinearität auf dynamische Systeme. Der am häufigsten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen spezifiziert wird Polynom oder holomorph Funktion eines Variablenkomplexes auf der Oberfläche. Zu den bekanntesten Fraktalen dieser Art gehören die Julia-Menge, die Mandelbrot-Menge und die Newton-Pools. Unten zeigen die Bilder der Reihe nach jedes der oben genannten Fraktale.

Ein weiteres Beispiel für Fraktale sind fraktale Kurven. Wie man ein Fraktal konstruiert, lässt sich am besten am Beispiel fraktaler Kurven erklären. Eine dieser Kurven ist die sogenannte Koch-Schneeflocke. Es gibt ein einfaches Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven auf einer Ebene. Definieren wir eine beliebige gestrichelte Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, einen sogenannten Generator. Als nächstes ersetzen wir jedes darin enthaltene Segment durch einen Generator (genauer gesagt eine gestrichelte Linie ähnlich einem Generator). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir erneut jedes Segment durch einen Generator. Wenn wir weiter bis ins Unendliche gehen, erhalten wir im Grenzfall eine fraktale Kurve. Unten ist die Koch-Schneeflocke (oder Kurve) zu sehen.

Es gibt auch eine große Vielfalt fraktaler Kurven. Die bekanntesten davon sind die bereits erwähnte Koch-Schneeflocke sowie die Levy-Kurve, die Minkowski-Kurve, die gestrichelte Linie des Drachen, die Piano-Kurve und der Pythagoras-Baum. Ich denke, wenn Sie möchten, können Sie auf Wikipedia leicht ein Bild dieser Fraktale und ihrer Geschichte finden.

Das dritte Beispiel oder die dritte Art von Fraktalen sind stochastische Fraktale. Zu diesen Fraktalen gehören die Flugbahn der Brownschen Bewegung in einer Ebene und im Raum, die Schramm-Löwner-Entwicklung und verschiedene Arten randomisierter Fraktale, also Fraktale, die mithilfe eines rekursiven Verfahrens erhalten werden, in das bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird.

Es gibt auch rein mathematische Fraktale. Dies sind beispielsweise die Cantor-Menge, der Menger-Schwamm, das Sierpinski-Dreieck und andere.

Aber die vielleicht interessantesten Fraktale sind natürliche. Natürliche Fraktale sind Objekte in der Natur, die fraktale Eigenschaften haben. Und hier ist die Liste schon groß. Ich werde nicht alles auflisten, da es wahrscheinlich unmöglich ist, sie alle aufzulisten, aber ich werde Ihnen einiges erzählen. In der belebten Natur umfassen solche Fraktale beispielsweise unser Kreislaufsystem und unsere Lunge. Und auch die Kronen und Blätter von Bäumen. Dazu gehören auch Seesterne, Seeigel, Korallen, Muscheln und einige Pflanzen wie Kohl oder Brokkoli. Nachfolgend sind mehrere solcher natürlicher Fraktale aus der belebten Natur deutlich dargestellt.

Wenn wir die unbelebte Natur betrachten, dann gibt es dort viel interessantere Beispiele als in der belebten Natur. Blitze, Schneeflocken, Wolken, die jeder kennt, Muster auf Fenstern an frostigen Tagen, Kristalle, Bergketten – all das sind Beispiele natürlicher Fraktale aus der unbelebten Natur.

Wir haben uns Beispiele und Arten von Fraktalen angesehen. Was die Verwendung von Fraktalen betrifft, so werden sie in einer Vielzahl von Wissensgebieten eingesetzt. In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien beispielsweise in der Petrochemie verwendet. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung innerer Organsysteme (Blutgefäßsystem) verwendet. Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, sie zur Berechnung der Küstenlänge zu verwenden. Fraktale werden auch in der Funktechnik, Informationswissenschaft und Computertechnologie, Telekommunikation und sogar in der Wirtschaft aktiv eingesetzt. Und natürlich wird das fraktale Sehen in der modernen Kunst und Architektur aktiv eingesetzt. Hier ist ein Beispiel für fraktale Muster:

Damit möchte ich meine Geschichte über ein so ungewöhnliches mathematisches Phänomen wie ein Fraktal vervollständigen. Heute haben wir erfahren, was ein Fraktal ist, wie es aussieht und welche Arten und Beispiele es für Fraktale gibt. Ich habe auch über ihre Anwendung gesprochen und einige der Fraktale visuell demonstriert. Ich hoffe, Ihnen hat dieser kleine Ausflug in die Welt der erstaunlichen und faszinierenden fraktalen Objekte gefallen.