Der Winkel zwischen zwei Geraden in einer Ebene. Winkel zwischen zwei Geraden
Dieses Material ist einem Konzept wie dem Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien gewidmet. Im ersten Absatz erklären wir, was es ist und zeigen es in Abbildungen. Dann schauen wir uns die Möglichkeiten an, wie Sie den Sinus, den Cosinus dieses Winkels und den Winkel selbst ermitteln können (wir werden Fälle mit einem ebenen und dreidimensionalen Raum getrennt betrachten), geben die notwendigen Formeln an und zeigen dies anhand von Beispielen genau wie sie in der Praxis eingesetzt werden.
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Um zu verstehen, wie groß der Winkel ist, der entsteht, wenn sich zwei Linien schneiden, müssen wir uns an die Definition von Winkel, Rechtwinkligkeit und Schnittpunkt erinnern.
Definition 1
Wir nennen zwei Geraden einen Schnittpunkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird als Schnittpunkt zweier Geraden bezeichnet.
Jede Gerade wird durch einen Schnittpunkt in Strahlen unterteilt. Beide Geraden bilden 4 Winkel, von denen zwei vertikal sind und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß eines davon kennen, können wir die übrigen bestimmen.
Nehmen wir an, wir wissen, dass einer der Winkel gleich α ist. In diesem Fall ist der dazu senkrechte Winkel ebenfalls gleich α. Um die verbleibenden Winkel zu ermitteln, müssen wir die Differenz 180° – α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, sind alle Winkel rechte Winkel. Linien, die sich im rechten Winkel schneiden, werden als Senkrechten bezeichnet (dem Begriff der Rechtwinkligkeit ist ein eigener Artikel gewidmet).
Schauen Sie sich das Bild an:
Kommen wir zur Formulierung der Hauptdefinition.
Definition 2
Der Winkel, den zwei sich schneidende Linien bilden, ist das Maß des kleineren der vier Winkel, die diese beiden Linien bilden.
Aus der Definition muss eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden: Die Größe des Winkels wird in diesem Fall durch eine beliebige reelle Zahl im Intervall (0, 90) ausgedrückt. Wenn die Linien senkrecht sind, ist der Winkel zwischen ihnen auf jeden Fall so gleich 90 Grad.
Die Fähigkeit, das Maß für den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien zu ermitteln, ist für die Lösung vieler praktischer Probleme hilfreich. Die Lösungsmethode kann aus mehreren Optionen gewählt werden.
Zunächst können wir geometrische Methoden anwenden. Wenn wir etwas über Komplementärwinkel wissen, können wir sie anhand der Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Figuren auf den benötigten Winkel beziehen. Wenn wir beispielsweise die Seiten eines Dreiecks kennen und den Winkel zwischen den Geraden berechnen müssen, auf denen diese Seiten liegen, dann ist der Kosinussatz für unsere Lösung geeignet. Wenn wir in unserem Zustand ein rechtwinkliges Dreieck haben, müssen wir für Berechnungen auch Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels kennen.
Die Koordinatenmethode eignet sich auch sehr gut zur Lösung solcher Probleme. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden.
Wir haben ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem O x y, in dem zwei Geraden gegeben sind. Bezeichnen wir sie mit den Buchstaben a und b. Die Geraden können mit einigen Gleichungen beschrieben werden. Die ursprünglichen Linien haben einen Schnittpunkt M. Wie bestimmt man den erforderlichen Winkel (nennen wir ihn α) zwischen diesen Geraden?
Beginnen wir mit der Formulierung des Grundprinzips der Winkelfindung unter gegebenen Bedingungen.
Wir wissen, dass das Konzept einer geraden Linie eng mit Konzepten wie einem Richtungsvektor und einem Normalenvektor zusammenhängt. Wenn wir eine Gleichung einer bestimmten Geraden haben, können wir daraus die Koordinaten dieser Vektoren entnehmen. Wir können dies für zwei sich schneidende Linien gleichzeitig tun.
Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien kann ermittelt werden mit:
- Winkel zwischen Richtungsvektoren;
- Winkel zwischen Normalenvektoren;
- der Winkel zwischen dem Normalenvektor einer Linie und dem Richtungsvektor der anderen.
Schauen wir uns nun jede Methode einzeln an.
1. Nehmen wir an, dass wir eine Gerade a mit einem Richtungsvektor a → = (a x, a y) und eine Gerade b mit einem Richtungsvektor b → (b x, b y) haben. Zeichnen wir nun zwei Vektoren a → und b → vom Schnittpunkt aus. Danach werden wir sehen, dass sie jeweils auf einer eigenen geraden Linie liegen. Dann haben wir vier Möglichkeiten für ihre relative Anordnung. Siehe Abbildung:
Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht stumpf ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen den Schnittlinien a und b benötigen. Wenn er stumpf ist, ist der gewünschte Winkel gleich dem Winkel neben dem Winkel a →, b → ^. Somit ist α = a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° , und α = 180 ° - a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .
Basierend auf der Tatsache, dass die Kosinuswerte gleicher Winkel gleich sind, können wir die resultierenden Gleichungen wie folgt umschreiben: cos α = cos a →, b → ^, wenn a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, wenn a →, b → ^ > 90°.
Im zweiten Fall wurden Reduktionsformeln verwendet. Auf diese Weise,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Schreiben wir die letzte Formel in Worten:
Definition 3
Der Kosinus des Winkels, der durch zwei sich schneidende Geraden gebildet wird, ist gleich dem Modul des Kosinus des Winkels zwischen seinen Richtungsvektoren.
Die allgemeine Form der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) sieht folgendermaßen aus:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + by y 2
Daraus können wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei gegebenen Geraden ableiten:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dann kann der Winkel selbst mit der folgenden Formel ermittelt werden:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dabei sind a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden.
Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.
Beispiel 1
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene sind zwei Schnittlinien a und b gegeben. Sie können durch die parametrischen Gleichungen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R und x 5 = y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Linien.
Lösung
Wir haben in unserer Bedingung eine parametrische Gleichung, was bedeutet, dass wir für diese Linie sofort die Koordinaten ihres Richtungsvektors angeben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten für den Parameter nehmen, d.h. die Gerade x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R wird einen Richtungsvektor a → = (4, 1) haben.
Die zweite Zeile wird mit der kanonischen Gleichung x 5 = y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten aus den Nennern entnehmen. Somit hat diese Linie einen Richtungsvektor b → = (5 , - 3) .
Als nächstes gehen wir direkt zur Bestimmung des Winkels über. Setzen Sie dazu einfach die vorhandenen Koordinaten der beiden Vektoren in die obige Formel ein: α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Wir erhalten Folgendes:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Antwort: Diese Geraden bilden einen Winkel von 45 Grad.
Wir können ein ähnliches Problem lösen, indem wir den Winkel zwischen Normalenvektoren ermitteln. Wenn wir eine Gerade a mit einem Normalenvektor n a → = (n a x , n a y) und eine Gerade b mit einem Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) haben, dann ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Winkel zwischen n a → und n b → oder der Winkel, der an n a →, n b → ^ angrenzt. Diese Methode ist im Bild dargestellt:
Formeln zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien und dieses Winkels selbst unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren sehen wie folgt aus:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Hier bezeichnen n a → und n b → die Normalenvektoren zweier gegebener Geraden.
Beispiel 2
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden zwei Geraden durch die Gleichungen 3 x + 5 y – 30 = 0 und x + 4 y – 17 = 0 angegeben. Ermitteln Sie den Sinus und Cosinus des Winkels zwischen ihnen und die Größe dieses Winkels selbst.
Lösung
Die ursprünglichen Linien werden mithilfe von Normalliniengleichungen der Form A x + B y + C = 0 angegeben. Wir bezeichnen den Normalenvektor als n → = (A, B). Suchen wir die Koordinaten des ersten Normalenvektors für eine Linie und schreiben sie: n a → = (3, 5) . Für die zweite Linie x + 4 y - 17 = 0 hat der Normalenvektor die Koordinaten n b → = (1, 4). Nun addieren wir die erhaltenen Werte zur Formel und berechnen die Summe:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus mithilfe der grundlegenden trigonometrischen Identität berechnen. Da der durch Geraden gebildete Winkel α nicht stumpf ist, gilt sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
In diesem Fall ist α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Antwort: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analysieren wir den letzten Fall – das Ermitteln des Winkels zwischen Geraden, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors einer Geraden und des Normalenvektors der anderen kennen.
Nehmen wir an, dass die Gerade a einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) und die Gerade b einen Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) hat. Wir müssen diese Vektoren vom Schnittpunkt entfernen und alle Optionen für ihre relativen Positionen berücksichtigen. Siehe im Bild:
Wenn der Winkel zwischen den angegebenen Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, ergibt sich, dass er den Winkel zwischen a und b zu einem rechten Winkel ergänzt.
a → , n b → ^ = 90 ° - α wenn a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Wenn es weniger als 90 Grad beträgt, erhalten wir Folgendes:
a → , n b → ^ > 90 ° , dann a → , n b → ^ = 90 ° + α
Unter Verwendung der Regel der Kosinusgleichheit gleicher Winkel schreiben wir:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α für a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α für a →, n b → ^ > 90 °.
Auf diese Weise,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Lassen Sie uns eine Schlussfolgerung formulieren.
Definition 4
Um den Sinus des Winkels zwischen zwei sich in einer Ebene schneidenden Linien zu ermitteln, müssen Sie den Modul des Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der ersten Linie und dem Normalenvektor der zweiten berechnen.
Schreiben wir die notwendigen Formeln auf. Den Sinus eines Winkels ermitteln:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n by a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2
Den Winkel selbst finden:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2
Hier ist a → der Richtungsvektor der ersten Linie und n b → der Normalenvektor der zweiten.
Beispiel 3
Zwei sich schneidende Geraden ergeben sich aus den Gleichungen x - 5 = y - 6 3 und x + 4 y - 17 = 0. Finden Sie den Schnittwinkel.
Lösung
Die Koordinaten des Leit- und Normalenvektors entnehmen wir den gegebenen Gleichungen. Es stellt sich heraus, dass a → = (- 5, 3) und n → b = (1, 4). Wir nehmen die Formel α = a r c sin = a x n b x + a y n by y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2 und berechnen:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Bitte beachten Sie, dass wir die Gleichungen aus der vorherigen Aufgabe übernommen und genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, jedoch auf andere Weise.
Antwort:α = a r c sin 7 2 34
Lassen Sie uns eine andere Möglichkeit vorstellen, den gewünschten Winkel mithilfe der Winkelkoeffizienten gegebener Geraden zu ermitteln.
Wir haben eine Linie a, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die Gleichung y = k 1 x + b 1 definiert ist, und eine Linie b, definiert als y = k 2 x + b 2. Dies sind Gleichungen von Geraden mit Steigungen. Um den Schnittwinkel zu ermitteln, verwenden wir die Formel:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, wobei k 1 und k 2 die Steigungen der gegebenen Geraden sind. Um diesen Datensatz zu erhalten, wurden Formeln zur Bestimmung des Winkels durch die Koordinaten von Normalenvektoren verwendet.
Beispiel 4
Es gibt zwei Linien, die sich in einer Ebene schneiden, die durch die Gleichungen y = - 3 5 x + 6 und y = - 1 4 x + 17 4 gegeben ist. Berechnen Sie den Wert des Schnittwinkels.
Lösung
Die Winkelkoeffizienten unserer Linien sind gleich k 1 = - 3 5 und k 2 = - 1 4. Fügen wir sie zur Formel α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 hinzu und berechnen wir:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = ar c cos 23 2 34
Antwort:α = a r c cos 23 2 34
Im Fazit dieses Absatzes ist zu beachten, dass die hier angegebenen Formeln zur Bestimmung des Winkels nicht auswendig gelernt werden müssen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Hilfslinien und/oder Normalenvektoren gegebener Linien zu kennen und diese mithilfe verschiedener Gleichungstypen bestimmen zu können. Aber es ist besser, sich die Formeln zur Berechnung des Kosinus eines Winkels zu merken oder aufzuschreiben.
So berechnen Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien im Raum
Die Berechnung eines solchen Winkels kann auf die Berechnung der Koordinaten der Richtungsvektoren und die Bestimmung der Größe des von diesen Vektoren gebildeten Winkels reduziert werden. Für solche Beispiele wird die gleiche Argumentation wie zuvor verwendet.
Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum. Es enthält zwei Geraden a und b mit einem Schnittpunkt M. Um die Koordinaten der Richtungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Linien kennen. Bezeichnen wir die Richtungsvektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Um den Winkel selbst zu ermitteln, benötigen wir diese Formel:
α = a r c cos a x b x + a y by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Beispiel 5
Wir haben eine im dreidimensionalen Raum definierte Linie mit der Gleichung x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Es ist bekannt, dass es die O z-Achse schneidet. Berechnen Sie den Schnittwinkel und den Kosinus dieses Winkels.
Lösung
Bezeichnen wir den Winkel, der berechnet werden muss, mit dem Buchstaben α. Schreiben wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die erste Gerade auf – a → = (1, - 3, - 2) . Für die Anwendungsachse können wir uns am Koordinatenvektor k → = (0, 0, 1) orientieren. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können diese zur gewünschten Formel hinzufügen:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Als Ergebnis haben wir herausgefunden, dass der von uns benötigte Winkel gleich a r c cos 1 2 = 45 ° ist.
Antwort: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
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Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als
Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2.
Satz. Die Linien Ax + Bу + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 = λA, B 1 = λB proportional sind. Ist auch C 1 = λC, dann fallen die Geraden zusammen. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden ermittelt.
Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft
Senkrecht zu einer bestimmten Linie
Definition. Eine Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b steht, wird durch die Gleichung dargestellt:
Abstand vom Punkt zur Linie
Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als
.
Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:
(1)
Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:
Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
dann erhalten wir beim Lösen:
Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.
Lösung. Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.
Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.
Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: 
; 4 x = 6 Jahre – 6;
2 x – 3 Jahre + 3 = 0;
Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: 
mit b = 17. Gesamt: . 
Antwort: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden
1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,
j - j 1 = k(X - X 1). (1)
Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.
2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:
Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt
3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind
j = k 1 X + B 1 ,
j = k 2 X + B 2 , (4)
dann wird der Winkel zwischen ihnen durch die Formel bestimmt
Es ist zu beachten, dass im Zähler des Bruchs die Steigung der ersten Geraden von der Steigung der zweiten Geraden subtrahiert wird.
Wenn die Gleichungen einer Geraden in allgemeiner Form angegeben sind
A 1 X + B 1 j + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 j + C 2 = 0, (6)
Der Winkel zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt
4. Bedingungen für die Parallelität zweier Geraden:
a) Sind die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität die Gleichheit ihrer Winkelkoeffizienten:
k 1 = k 2 . (8)
b) Für den Fall, dass die Geraden durch Gleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben sind, ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten für die entsprechenden aktuellen Koordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.
5. Bedingungen für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:
a) Für den Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben sind, ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass ihre Winkelkoeffizienten in der Größe umgekehrt und im Vorzeichen entgegengesetzt sind, d.h.
Diese Bedingung kann auch im Formular geschrieben werden
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Wenn die Geradengleichungen in der allgemeinen Form (6) vorliegen, dann besteht die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und ausreichend) darin, die Gleichheit zu erfüllen
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems (6) ermittelt. Geraden (6) schneiden sich genau dann, wenn
1. Schreiben Sie die Gleichungen von Geraden, die durch den Punkt M verlaufen, von denen eine parallel und die andere senkrecht zur gegebenen Geraden l verläuft.
A. Gegeben seien zwei Geraden. Diese Geraden bilden, wie in Kapitel 1 angegeben, verschiedene positive und negative Winkel, die entweder spitz oder stumpf sein können. Wenn wir einen dieser Winkel kennen, können wir leicht jeden anderen finden.
Für alle diese Winkel ist übrigens der Zahlenwert der Tangente gleich, der Unterschied kann nur im Vorzeichen liegen
Gleichungen von Linien. Die Zahlen stellen die Projektionen der Richtungsvektoren der ersten und zweiten Geraden dar. Der Winkel zwischen diesen Vektoren ist gleich einem der von den Geraden gebildeten Winkel. Daher besteht das Problem darin, den Winkel zwischen den Vektoren zu bestimmen. Wir erhalten
Der Einfachheit halber können wir uns darauf einigen, dass der Winkel zwischen zwei Geraden ein spitzer positiver Winkel ist (wie zum Beispiel in Abb. 53).
Dann ist der Tangens dieses Winkels immer positiv. Wenn also auf der rechten Seite der Formel (1) ein Minuszeichen steht, müssen wir es verwerfen, d. h. nur den Absolutwert speichern.
Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Geraden
Nach Formel (1) gilt
Mit. Wenn angegeben wird, welche der Seiten des Winkels sein Anfang und welche sein Ende ist, dann können wir, indem wir immer die Richtung des Winkels gegen den Uhrzeigersinn zählen, etwas mehr aus Formel (1) extrahieren. Wie aus Abb. leicht zu erkennen ist. 53 gibt das auf der rechten Seite der Formel (1) erhaltene Vorzeichen an, welchen Winkel – spitz oder stumpf – die zweite Gerade mit der ersten bildet.
(Tatsächlich sehen wir aus Abb. 53, dass der Winkel zwischen dem ersten und zweiten Richtungsvektor entweder gleich dem gewünschten Winkel zwischen den Geraden ist oder um ±180° davon abweicht.)
D. Wenn die Linien parallel sind, dann sind ihre Richtungsvektoren parallel. Wenn wir die Bedingung der Parallelität zweier Vektoren anwenden, erhalten wir!
Dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität zweier Geraden.
Beispiel. Direkte
sind parallel, weil
e. Stehen die Geraden senkrecht, dann stehen auch ihre Richtungsvektoren senkrecht. Wenn wir die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren anwenden, erhalten wir die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden, nämlich
Beispiel. Direkte
sind senkrecht aufgrund der Tatsache, dass
Im Zusammenhang mit den Bedingungen der Parallelität und der Rechtwinkligkeit werden wir die folgenden zwei Probleme lösen.
F. Zeichnen Sie eine Linie durch einen Punkt parallel zur angegebenen Linie
Die Lösung erfolgt wie folgt. Da die gewünschte Gerade zu dieser parallel ist, können wir als Richtungsvektor den gleichen wie den der gegebenen Geraden nehmen, also einen Vektor mit den Projektionen A und B. Und dann wird die Gleichung der gewünschten Geraden eingeschrieben das Formular (§ 1)
Beispiel. Gleichung einer Geraden, die parallel zur Geraden durch den Punkt (1; 3) verläuft
Es wird noch eins geben!
G. Zeichnen Sie eine Linie durch einen Punkt senkrecht zur gegebenen Linie
Hier ist es nicht mehr sinnvoll, den Vektor mit den Projektionen A und als Leitvektor zu nehmen, sondern es ist notwendig, den Vektor senkrecht dazu zu nehmen. Die Projektionen dieses Vektors müssen daher entsprechend der Bedingung der Rechtwinkligkeit beider Vektoren, also entsprechend der Bedingung, gewählt werden
Diese Bedingung kann auf unzählige Arten erfüllt werden, da es sich hier um eine Gleichung mit zwei Unbekannten handelt. Am einfachsten ist es jedoch, oder zu nehmen. Dann wird die Gleichung der gewünschten Geraden in die Form geschrieben
Beispiel. Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch den Punkt (-7; 2) verläuft
es wird folgendes geben (nach der zweiten Formel)!
H. Für den Fall, dass die Geraden durch Gleichungen der Form gegeben sind
Winkel zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.
Gegeben seien zwei Zeilen im Raum:
Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen Geraden als Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und angenommen werden. Da wir dann die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren verwenden, erhalten wir
Die Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden entsprechen den Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit ihrer Richtungsvektoren und:
Zwei gerade parallel genau dann, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, d. h. l 1 Parallele l 2 genau dann, wenn parallel 
.
Zwei gerade aufrecht genau dann, wenn die Summe der Produkte der entsprechenden Koeffizienten gleich Null ist: .
U Ziel zwischen Linie und Ebene
Lass es gerade sein D- nicht senkrecht zur θ-Ebene;
D′− Projektion einer Linie D zur θ-Ebene;
Der kleinste Winkel zwischen Geraden D Und D' Wir werden anrufen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.
Bezeichnen wir es als φ=( D,θ)
Wenn D⊥θ, dann ( D,θ)=π/2
Oi→J→k→− rechtwinkliges Koordinatensystem.
Ebenengleichung:
θ: Axt+Von+Tsch+D=0
Wir gehen davon aus, dass die Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert ist: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Dann bleibt noch der Winkel zwischen den Vektoren herauszufinden N→ und P→, bezeichnen wir es als γ=( N→,P→).
Wenn der Winkel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Wenn der Winkel γ>π/2 ist, dann ist der gewünschte Winkel φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Dann, Winkel zwischen Gerade und Ebene kann mit der Formel berechnet werden:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Vgl 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Frage29. Das Konzept der quadratischen Form. Zeichenbestimmtheit quadratischer Formen.
Quadratische Form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle Variablen x 1, x 2, …, x n heißt Summe der Form 
, (1)
Wo ein ij – einige Zahlen, die Koeffizienten genannt werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen ein ij = ein ji.
Die quadratische Form heißt gültig, Wenn ein ij
Î GR. Matrix quadratischer Form heißt eine Matrix, die aus ihren Koeffizienten besteht. Die quadratische Form (1) entspricht der einzigen symmetrischen Matrix 
Das ist EIN T = A. Folglich kann die quadratische Form (1) in Matrixform j geschrieben werden ( X) = x T Ah, Wo x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Und umgekehrt entspricht jede symmetrische Matrix (2) bis zur Variablenschreibweise einer eindeutigen quadratischen Form.
Rang der quadratischen Form wird der Rang seiner Matrix genannt. Die quadratische Form heißt nicht degeneriert, wenn seine Matrix nicht singulär ist A. (Denken Sie daran, dass die Matrix A heißt nicht entartet, wenn seine Determinante ungleich Null ist. Ansonsten ist die quadratische Form entartet.
positiv definitiv(oder streng positiv) wenn
J ( X) > 0 , für jeden X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).
Matrix A positiv definite quadratische Form j ( X) wird auch positiv definit genannt. Daher entspricht eine positiv definite quadratische Form einer eindeutigen positiv definiten Matrix und umgekehrt.
Die quadratische Form (1) heißt negativ definiert(oder streng negativ) wenn
J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).
Ähnlich wie oben wird eine Matrix negativ definiter quadratischer Form auch negativ definit genannt.
Folglich ist die positive (negative) bestimmte quadratische Form j ( X) erreicht den minimalen (maximalen) Wert j ( X*) = 0 bei X* = (0, 0, …, 0).
Beachten Sie, dass die meisten quadratischen Formen nicht vorzeichenbestimmt sind, das heißt, sie sind weder positiv noch negativ. Solche quadratischen Formen verschwinden nicht nur im Ursprung des Koordinatensystems, sondern auch an anderen Punkten.
Wann N> 2 sind spezielle Kriterien erforderlich, um das Vorzeichen einer quadratischen Form zu überprüfen. Schauen wir sie uns an.
Haupt-Minderjährige quadratische Form nennt man Minor:
das heißt, es handelt sich um Minderjährige in der Größenordnung von 1, 2, ..., N Matrizen A, befindet sich in der oberen linken Ecke, die letzte davon stimmt mit der Determinante der Matrix überein A.
Kriterium der positiven Bestimmtheit (Sylvester-Kriterium)
X) = x T Ah positiv definit war, ist es notwendig und ausreichend, dass alle großen Nebenwerte der Matrix vorhanden sind A waren positiv, das heißt: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatives Sicherheitskriterium Damit die quadratische Form j ( X) = x T Ah negativ definitiv war, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Hauptminorwerte gerader Ordnung positiv und ungerader Ordnung negativ sind, d. h.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N
Anweisungen
beachten Sie
Die Periode der Tangente der trigonometrischen Funktion beträgt 180 Grad, was bedeutet, dass die Steigungswinkel von Geraden diesen Wert in absoluten Werten nicht überschreiten können.
Hilfreicher Rat
Wenn die Winkelkoeffizienten einander gleich sind, beträgt der Winkel zwischen solchen Linien 0, da diese Linien entweder zusammenfallen oder parallel sind.
Um den Wert des Winkels zwischen sich schneidenden Linien zu bestimmen, müssen beide Linien (oder eine von ihnen) mithilfe der Parallelverschiebungsmethode an eine neue Position verschoben werden, bis sie sich schneiden. Danach sollten Sie den Winkel zwischen den resultierenden Schnittlinien ermitteln.
Du wirst brauchen
- Lineal, rechtwinkliges Dreieck, Bleistift, Winkelmesser.
Anweisungen
Gegeben seien also der Vektor V = (a, b, c) und die Ebene A x + B y + C z = 0, wobei A, B und C die Koordinaten der Normalen N sind. Dann der Kosinus des Winkels α zwischen den Vektoren V und N ist gleich: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Um den Winkel in Grad oder Bogenmaß zu berechnen, müssen Sie aus dem resultierenden Ausdruck die Umkehrfunktion zum Kosinus berechnen, d. h. Arkuskosinus:α = Arskos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Beispiel: finden Ecke zwischen Vektor(5, -3, 8) und Flugzeug, gegeben durch die allgemeine Gleichung 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lösung: Notieren Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene N = (2, -5, 3). Setze alle bekannten Werte in die gegebene Formel ein: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video zum Thema
Eine Gerade, die einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, ist Tangente an den Kreis. Ein weiteres Merkmal der Tangente besteht darin, dass sie immer senkrecht zum zum Berührungspunkt gezogenen Radius steht, d. h. Tangente und Radius bilden eine Gerade Ecke. Wenn von einem Punkt A aus zwei Tangenten an einen Kreis AB und AC gezogen werden, sind sie immer gleich. Bestimmen des Winkels zwischen Tangenten ( Ecke ABC) wird mithilfe des Satzes des Pythagoras erstellt.
Anweisungen
Um den Winkel zu bestimmen, müssen Sie den Radius des Kreises OB und OS und den Abstand des Startpunkts der Tangente vom Mittelpunkt des Kreises kennen – O. Die Winkel ABO und ACO sind also gleich, der Radius OB beträgt: zum Beispiel 10 cm und der Abstand zum Kreismittelpunkt AO beträgt 15 cm. Bestimmen Sie die Länge der Tangente mit der Formel nach dem Satz des Pythagoras: AB = Quadratwurzel aus AO2 – OB2 oder 152 – 102 = 225 – 100 = 125;
