Ako nájsť najmenší násobok čísel. Najmenší spoločný násobok (LCM) – definícia, príklady a vlastnosti

Pokračujme v rozhovore o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, a pozrieme sa na otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM pomocou GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Príklad 1

Musíte nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty do vzorca na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odpoveď: LCM(126,70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD v tomto prípade nie je ťažké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajme najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Teraz sa pozrime na metódu hľadania LCM, ktorá je založená na rozklade čísel na prvočiniteľa.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• skladáme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich výsledných produktov vylučujeme všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa gcd dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 A 700 , pričom obe čísla sa rozdelia na prvočísla.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto je číslo 7. Vylúčme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LOC(441, 700) = 44 100.

Uveďme inú formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Zoberme obe čísla do prvočiniteľov:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• získame súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3, 5 a 5 čísla 75 doplniť chýbajúce faktory 2 A 7 čísla 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky do jednoduchých faktorov: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajme k súčinu faktory 2, 2, 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3 čísla 648. Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM(84,648) = 4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k tieto čísla sa zistia postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta použiť na riešenie konkrétnych problémov.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .

Riešenie

Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Pri výpočtoch dostaneme m 3 = 3 780.

Musíme len vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť náročné na prácu. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• všetky čísla rozložíme na prvočiniteľa;
• k súčinu činiteľov prvého čísla pripočítame chýbajúce činitele súčinu druhého čísla;
• k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Musíte nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Prejdime k číslu 48, z ktorého súčinu prvočiniteľov vezmeme 2 a 2. Potom pridáme prvočíslo 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ide o najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.

odpoveď: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby bolo možné nájsť najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia byť tieto čísla najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom je potrebné vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM ( - 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a A − a- opačné čísla,
potom množina násobkov čísla a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 A − 45 .

Riešenie

Nahradíme čísla − 145 A − 45 na ich opačné čísla 145 A 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou euklidovského algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Lancinova Aisa

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Úlohy na GCD a LCM čísel Práca žiačky 6. ročníka MCOU "Kamyshovskaja stredná škola" Lantsinova Aisa školiteľka Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, učiteľka matematiky p. Kamyshevo, 2013

Príklad nájdenia gcd čísel 50, 75 a 325. 1) Rozložme čísla 50, 75 a 325 na prvočiniteľa. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarkneme tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia ostatných. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Nájdite súčin zvyšných faktorov 5 ∙ 5 = 25 Odpoveď: GCD (50, 75 a 325 Najväčší prirodzený) = 2 číslo, ktorým Keď sa čísla a a b delia bezo zvyšku, najväčší spoločný deliteľ týchto čísel sa nazýva najväčší spoločný deliteľ týchto čísel.

Príklad nájdenia LCM čísel 72, 99 a 117. 1) Rozložme čísla 72, 99 a 117 na prvočísla. 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Zapíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 a pridajte k nim chýbajúce faktory zvyšných čísel. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nájdite súčin výsledných faktorov. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpoveď: LCM (72, 99 a 117) = 10296 Najmenší spoločný násobok prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom a a b.

Hárok lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka 40 cm Tento hárok je potrebné bez odpadu rozrezať na rovnaké štvorce. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto pracovného listu a koľko? Riešenie: 1) S = a ∙ b – plocha obdĺžnika. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². - plocha lepenky. 2) a – strana štvorca 48: a – počet štvorcov, ktoré možno položiť po dĺžke kartónu. 40: a – počet štvorcov, ktoré možno položiť po šírke kartónu. 3) GCD (40 a 48) = 8 (cm) – strana štvorca. 4) S = a² – plocha jedného štvorca. S = 8² = 64 (cm²) - plocha jedného štvorca. 5) 1960: 64 = 30 (počet štvorcov). Odpoveď: 30 štvorcov so stranou 8 cm. Problémy s GCD

Krb v miestnosti musí byť kachľový v tvare štvorca. Koľko kachlí bude potrebných na krb s rozmermi 195 ͯ 156 cm a aké sú najväčšie rozmery kachlí? Riešenie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S povrchu krbu. 2) GCD (195 a 156) = 39 (cm) – strana dlaždice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – plocha 1 dlaždice. 4) 30420: = 20 (kusov). Odpoveď: 20 dlaždíc s rozmermi 39 ͯ 39 (cm). Problémy s GCD

Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, na to treba v pravidelných rozostupoch umiestniť betónové stĺpy. Koľko stĺpov je potrebné doviesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stĺpy umiestnené? Riešenie: 1) P = 2(a + b) – obvod lokality. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) GCD (54 a 48) = 6 (m) – vzdialenosť medzi piliermi. 3) 204: 6 = 34 (piliere). Odpoveď: 34 stĺpov, vo vzdialenosti 6 m Problémy GCD

Kytice boli vyzbierané z 210 bordových, 126 bielych a 294 červených ruží, pričom každá kytica obsahovala rovnaký počet ruží rovnakej farby. Aký je najväčší počet kytíc vyrobených z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici? Riešenie: 1) GCD (210, 126 a 294) = 42 (kytice). 2) 210: 42 = 5 (bordové ruže). 3) 126: 42 = 3 (biele ruže). 4) 294:42 = 7 (červené ruže). Odpoveď: 42 kytíc: 5 bordových, 3 biele, 7 červených ruží v každej kytici. Problémy s GCD

Tanya a Masha kúpili rovnaký počet poštových súprav. Tanya zaplatila 90 rubľov a Masha zaplatila 5 rubľov. viac. Koľko stojí jedna sada? Koľko súprav si každý kúpil? Riešenie: 1) 90 + 5 = 95 (rub.) Masha zaplatila. 2) GCD (90 a 95) = 5 (rub.) – cena za 1 sadu. 3) 980: 5 = 18 (sady) – kúpila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sady) – kúpila Masha. Odpoveď: 5 rubľov, 18 sád, 19 sád. Problémy s GCD

V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý 20 a tretí 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode opäť vydali na cestu v ten istý deň. Dnes lode opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa pôjdu opäť prvýkrát spolu plaviť? Koľko ciest vykoná každá loď? Riešenie: 1) NOC (15,20 a 12) = 60 (dní) – čas stretnutia. 2) 60: 15 = 4 (plavby) – 1 loď. 3) 60: 20 = 3 (plavby) – 2 lode. 4) 60: 12 = 5 (letov) – 3 lode. Odpoveď: 60 dní, 4 lety, 3 lety, 5 letov. Úlohy NOC

Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša? Riešenie: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (vajcia) Odpoveď: Máša kúpila 30 vajec. Úlohy NOC

Na umiestnenie škatúľ s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť škatuľu so štvorcovým dnom Aká je najkratšia dĺžka strany štvorcového dna, aby sa škatuľky tesne zmestili do škatule? Riešenie: 1) LCM (16 a 20) = 80 (boxy). 2) S = a ∙ b – plocha 1 krabice. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – spodná plocha 1 krabice. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – plocha štvorcového dna. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – rozmery krabice. Odpoveď: 160 cm je strana štvorcového dna. Úlohy NOC

Pozdĺž cesty z bodu K sú každých 45 m stĺpy elektrického vedenia. Tieto stĺpy sa rozhodli nahradiť inými, pričom ich umiestnili vo vzdialenosti 60 m od seba. Koľko stĺpov bolo a koľko ich bude? Riešenie: 1) LCM (45 a 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – boli tam stĺpy. 3) 180: 60 = 3 – stali sa piliermi. Odpoveď: 4 piliere, 3 piliere. Úlohy NOC

Koľko vojakov pochoduje na prehliadke, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade? Riešenie: 1) NOC (12 a 18) = 36 (ľudí) - pochod. Odpoveď: 36 ľudí. Úlohy NOC

Mnohé prirodzené čísla sú však deliteľné aj inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a- je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložený .

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b- je to číslo, ktorým sa obe dané čísla bezo zvyšku delia a A b.

Spoločné násobky niekoľko čísel je číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých spoločných násobkov je vždy jeden najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo sa nazýva najmenšíspoločný násobok (CMM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutatívnosť:

Asociativita:

Najmä, ak sú a sú prvočísla, potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m, n sa zhoduje s množinou násobkov LCM( m, n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho spojenie s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k- rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek— nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).

Potom NOC ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozkladov čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto multiplikátora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko sekvenčných výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčší rozklad (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) na faktory požadovaného súčinu a potom pridať faktory z rozkladu iných čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sa v ňom vyskytujú menej krát;

— výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) sú doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 sú doplnené o činiteľ 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Ide o najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorý je násobkom všetkých zadaných čísel.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

Pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Veľa deliteľov

Zoberme si nasledujúci problém: nájdite deliteľa čísla 140. Je zrejmé, že číslo 140 nemá jedného deliteľa, ale niekoľko. V takýchto prípadoch sa hovorí, že problém je kopa rozhodnutia. Nájdime ich všetky. Najprv si toto číslo rozpočítajme do jednoduchých faktorov:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Teraz môžeme jednoducho zapísať všetkých deliteľov. Začnime hlavnými faktormi, teda tými, ktoré sú prítomné vo vyššie uvedenej expanzii:

Potom zapíšeme tie, ktoré získame párovým násobením prvočíselných deliteľov:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Potom - tie, ktoré obsahujú troch hlavných deliteľov:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Nakoniec nezabudnime na jednotku a samotné rozložené číslo:

Všetky deliče, ktoré sme našli, tvoria kopa deliče čísla 140, ktoré sa píše pomocou zložených zátvoriek:

Množina deliteľov čísla 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Pre uľahčenie vnímania sme tu zapísali deliteľa ( prvky súpravy) vo vzostupnom poradí, ale vo všeobecnosti to nie je potrebné. Okrem toho zavádzame skratku notácie. Namiesto „Množina deliteľov čísla 140“ napíšeme „D(140)“. teda

Rovnakým spôsobom môžete nájsť množinu deliteľov pre akékoľvek iné prirodzené číslo. Napríklad z rozkladu

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dostaneme:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Od množiny všetkých deliteľov je potrebné odlíšiť množinu jednoduchých deliteľov, ktoré sú pre čísla 140 a 105 rovnaké:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Zvlášť treba zdôrazniť, že pri rozklade čísla 140 na prvočiniteľa sa dvojka objavuje dvakrát, kým v množine PD(140) je len jedna. Množina PD(140) je v podstate všetkými odpoveďami na problém: „Nájdite prvočíslo čísla 140“. Je jasné, že rovnaká odpoveď by sa nemala opakovať viackrát.

Znižovanie frakcií. Najväčší spoločný deliteľ

Zvážte zlomok

Vieme, že tento zlomok možno zmenšiť o číslo, ktoré je deliteľom čitateľa (105) aj deliteľom menovateľa (140). Pozrime sa na množiny D(105) a D(140) a zapíšme si ich spoločné prvky.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Spoločné prvky množín D(105) a D(140) =

Posledná rovnosť sa dá napísať stručnejšie, a to:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Tu špeciálna ikona „∩“ („vrecko s otvorom dole“) označuje, že z dvoch sád napísaných na jeho opačných stranách je potrebné vybrať len spoločné prvky. Záznam „D(105) ∩ D(140)“ znie „ križovatka sady De od 105 a De od 140.“

[Všimnite si, že s množinami môžete vykonávať rôzne binárne operácie, takmer ako s číslami. Ďalšou bežnou binárnou operáciou je únie, ktorá je označená ikonou „∪“ („vrecko s otvorom nahor“). Spojenie dvoch množín zahŕňa všetky prvky oboch množín:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Takže sme zistili, že zlomok

možno zmenšiť o ktorékoľvek z čísel patriacich k súprave

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

a nemožno ho zmenšiť žiadnym iným prirodzeným číslom. Tu sú všetky možné skratky (okrem nezaujímavého skrátenia o jednu):

Je zrejmé, že najpraktickejšie je znížiť zlomok o číslo, ktoré je čo najväčšie. V tomto prípade ide o číslo 35, o ktorom sa hovorí najväčší spoločný deliteľ (GCD) čísla 105 a 140. Toto sa píše ako

GCD(105; 140) = 35.

V praxi však platí, že ak dostaneme dve čísla a potrebujeme nájsť ich najväčšieho spoločného deliteľa, nemali by sme zostrojovať vôbec žiadne množiny. Stačí jednoducho rozložiť obe čísla na prvočísla a zdôrazniť tie z týchto faktorov, ktoré sú spoločné pre oba rozklady, napríklad:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Vynásobením podčiarknutých čísel (v ktoromkoľvek z rozšírení) dostaneme:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Samozrejme, je možné, že podčiarknuté faktory budú viac ako dva:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Z toho je jasné, že

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Osobitnú zmienku si zasluhuje situácia, keď neexistujú žiadne spoločné faktory a nie je čo zdôrazňovať, napríklad:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

V tomto prípade,

GCD(42, 55) = 1.

Vyvolajú sa dve prirodzené čísla, pre ktoré sa GCD rovná jednej vzájomne prvotriedne. Ak z takýchto čísel urobíte zlomok, napr.

potom taký zlomok je neredukovateľný.

Všeobecne povedané, pravidlo pre redukciu zlomkov možno napísať takto:

Tu sa predpokladá, že a A b sú prirodzené čísla a celý zlomok je kladný. Ak teraz k obom stranám tejto rovnosti pridáme znamienko mínus, dostaneme zodpovedajúce pravidlo pre záporné zlomky.

Sčítanie a odčítanie zlomkov. Najmenší spoločný násobok

Predpokladajme, že potrebujete vypočítať súčet dvoch zlomkov:

Už vieme, ako sa menovatelia zohľadňujú v hlavných faktoroch:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Z tohto rozkladu hneď vyplýva, že na to, aby sa zlomky dostali k spoločnému menovateľovi, stačí vynásobiť čitateľa a menovateľa prvého zlomku číslom 2 ∙ 2 (súčin nezvýraznených prvočiniteľov druhého menovateľa) a čitateľa a menovateľa druhého zlomku po 3 („súčin“ neprízvučné prvočiniteľa prvého menovateľa). V dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov budú rovnať číslu, ktoré možno znázorniť takto:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Je ľahké vidieť, že obidva pôvodné menovatele (105 aj 140) sú deliteľmi čísla 420 a číslo 420 je zasa násobkom oboch menovateľov – a nie iba násobkom, je najmenší spoločný násobok (NOC) čísla 105 a 140. Píše sa takto:

LCM(105,140) = 420.

Pri bližšom pohľade na rozklad čísel 105 a 140 to vidíme

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Podobne pre ľubovoľné prirodzené čísla b A d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Teraz dokončíme súčet našich zlomkov:

V 5. ročníku strednej školy sa študuje téma „Viacnásobné čísla“. Jeho cieľom je zlepšiť písomné a ústne matematické výpočtové schopnosti. V tejto lekcii sú predstavené nové pojmy - „viacnásobné čísla“ a „delitelia“, precvičuje sa technika hľadania deliteľov a násobkov prirodzeného čísla a schopnosť nájsť LCM rôznymi spôsobmi.

Táto téma je veľmi dôležitá. Jeho znalosť sa dá uplatniť pri riešení príkladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa výpočtom najmenšieho spoločného násobku (LCM).

Násobok A je celé číslo, ktoré je deliteľné A bezo zvyšku.

Každé prirodzené číslo má nekonečný počet jeho násobkov. Sám sa považuje za najmenší. Násobok nemôže byť menší ako samotné číslo.

Musíte dokázať, že číslo 125 je násobkom 5. Aby ste to dosiahli, musíte prvé číslo vydeliť druhým. Ak je 125 deliteľné 5 bez zvyšku, odpoveď je áno.

Táto metóda je použiteľná pre malé čísla.

Pri výpočte LOC existujú špeciálne prípady.

1. Ak potrebujete nájsť spoločný násobok 2 čísel (napríklad 80 a 20), pričom jedno z nich (80) je deliteľné druhým (20), potom je toto číslo (80) najmenším násobkom týchto dve čísla.

LCM(80,20) = 80.

2. Ak dve nemajú spoločného deliteľa, potom môžeme povedať, že ich LCM je súčinom týchto dvoch čísel.

LCM(6,7) = 42.

Pozrime sa na posledný príklad. 6 a 7 vo vzťahu k 42 sú deliče. Delia násobok čísla bezo zvyšku.

V tomto príklade sú 6 a 7 párové faktory. Ich súčin sa rovná najväčšiemu násobku (42).

Číslo sa nazýva prvočíslo, ak je deliteľné iba samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatné sa nazývajú kompozitné.

Ďalší príklad zahŕňa určenie, či 9 je deliteľom 42.

42:9=4 (zvyšok 6)

Odpoveď: 9 nie je deliteľom 42, pretože odpoveď má zvyšok.

Deliteľ sa líši od násobku tým, že deliteľ je číslo, ktorým sa delia prirodzené čísla a samotný násobok je deliteľný týmto číslom.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a A b, vynásobený ich najmenším násobkom, dá súčin samotných čísel a A b.

Konkrétne: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Spoločné násobky pre komplexnejšie čísla sa nachádzajú nasledujúcim spôsobom.

Nájdite napríklad LCM pre 168, 180, 3024.

Tieto čísla započítame do prvočiniteľov a zapíšeme ich ako súčin mocnin:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.