Nezávislé identicky rozdelené náhodné premenné. Smerodajná odchýlka súčtu vzájomne nezávislých náhodných premenných

Je už známe, že podľa distribučného zákona možno nájsť číselné charakteristiky náhodnej premennej. Z toho vyplýva, že ak má viacero náhodných premenných rovnaké rozdelenia, potom sú ich číselné charakteristiky rovnaké.

Uvažujme P vzájomne nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , ...., X p, ktoré majú rovnaké distribúcie, a teda aj rovnaké charakteristiky (matematické očakávanie, disperzia atď.). Najväčší záujem je o štúdium numerických charakteristík aritmetického priemeru týchto veličín, čomu sa budeme venovať v tejto časti.

Označme aritmetický priemer uvažovaných náhodných premenných pomocou :

= (X 1 +X 2 +…+X n)/n.

Nasledujúce tri ustanovenia vytvárajú súvislosť medzi numerickými charakteristikami aritmetického priemeru X a zodpovedajúce charakteristiky každej jednotlivej veličiny.

1. Matematické očakávanie aritmetického priemeru identicky rozdelených vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná matematickému očakávaniu každej z hodnôt:

M()=a

Dôkaz. Pomocou vlastností matematického očakávania (konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania; matematické očakávanie súčtu sa rovná súčtu matematických očakávaní členov)

M( )= M

Berúc do úvahy, že matematické očakávanie každej z veličín podľa podmienky sa rovná A, dostaneme

M()=na/n=a.

2. Rozptyl aritmetického priemeru n identicky rozdelených vzájomne nezávislých náhodných premenných je n-krát menší ako rozptyl D každej z hodnôt:

D()=D/n.(* )

Dôkaz. Pomocou vlastností disperzie (konštantný faktor možno zo znamienka disperzie vyňať jeho kvadratúrou; disperzia súčtu nezávislých veličín sa rovná súčtu disperzií členov)

D( )=D

Berúc do úvahy, že rozptyl každej z veličín podľa podmienky je rovný D, dostaneme

D( )= nD/n 2 =D/n.

3. Smerodajná odchýlka aritmetického priemeru n identicky rozdelených vzájomne nezávislých náhodných premenných je niekoľkonásobne menšia ako smerodajná odchýlka s každé z množstiev:

Dôkaz. Pretože D()= D/n, potom sa štandardná odchýlka rovná

s ( )= .

Všeobecný záver zo vzorcov (*) a (**): pamätajúc na to, že disperzia a štandardná odchýlka slúžia ako miery disperzie náhodnej premennej, sme dospeli k záveru, že aritmetický priemer dostatočne veľkého počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných má podstatne menej rozptyl ako každá jednotlivá hodnota.

Vysvetlime si na príklade význam tohto záveru pre prax.

Príklad. Zvyčajne sa na meranie určitej fyzikálnej veličiny vykoná niekoľko meraní a potom sa zistí aritmetický priemer získaných čísel, ktorý sa berie ako približná hodnota meranej veličiny. Za predpokladu, že sa merania vykonávajú za rovnakých podmienok, dokážte:

a) aritmetický priemer poskytuje spoľahlivejší výsledok ako jednotlivé merania;

b) s nárastom počtu meraní sa zvyšuje spoľahlivosť tohto výsledku.

Riešenie. a) Je známe, že jednotlivé merania dávajú rôzne hodnoty meranej veličiny. Výsledok každého merania závisí od mnohých náhodných príčin (zmeny teploty, kolísanie prístrojov a pod.), ktoré nie je možné vopred plne zohľadniť.

Preto máme právo zvážiť možné výsledky n jednotlivé merania ako náhodné veličiny X 1 , X 2 , ..., X p(index označuje číslo merania). Tieto veličiny majú rovnaké rozdelenie pravdepodobnosti (merania sa vykonávajú rovnakou metódou a rovnakými prístrojmi), a teda rovnaké číselné charakteristiky; navyše sú navzájom nezávislé (výsledok každého jednotlivého merania nezávisí od iných meraní).

Už vieme, že aritmetický priemer takýchto veličín má menší rozptyl ako každá jednotlivá veličina. Inými slovami, ukazuje sa, že aritmetický priemer je bližšie k skutočnej hodnote nameranej hodnoty ako výsledok samostatného merania. To znamená, že aritmetický priemer niekoľkých meraní poskytuje spoľahlivejší výsledok ako jedno meranie.

b) Už vieme, že so zvyšujúcim sa počtom jednotlivých náhodných premenných klesá rozptyl aritmetického priemeru. To znamená, že so zvyšujúcim sa počtom meraní sa aritmetický priemer niekoľkých meraní stále menej líši od skutočnej hodnoty nameranej hodnoty. Zvýšením počtu meraní sa teda získa spoľahlivejší výsledok.

Napríklad, ak je smerodajná odchýlka jednotlivého merania s= 6 m, a celkom n= 36 meraní, potom je štandardná odchýlka aritmetického priemeru týchto meraní iba 1 m.

s ( )=

Vidíme, že aritmetický priemer niekoľkých meraní, ako by sa dalo očakávať, sa ukázal byť bližšie k skutočnej hodnote nameranej hodnoty ako výsledok samostatného merania.

Hovoria, že sú nezávislé (a) identicky rozdelené, ak má každá z nich rovnaké rozdelenie ako ostatné a všetky veličiny sú v súhrne nezávislé. Fráza „nezávislý identicky distribuovaný“ sa často skracuje ako i.i.d.(z angličtiny nezávislé a identicky distribuované ), niekedy - „n.o.r“.

Aplikácie

Predpoklad, že náhodné premenné sú nezávislé a identicky rozdelené, je široko používaný v teórii pravdepodobnosti a štatistike, pretože umožňuje výrazne zjednodušiť teoretické výpočty a preukázať zaujímavé výsledky.

Jedna z kľúčových teorémov teórie pravdepodobnosti – centrálna limitná veta – hovorí, že ak ide o postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných, potom, keďže majú tendenciu do nekonečna, rozdelenie ich priemeru – náhodnej premennej konverguje k normálnemu rozdeleniu.

V štatistike sa všeobecne predpokladá, že štatistická vzorka je sekvencia i.i.d. realizácie nejakej náhodnej premennej (takejto vzorke sa hovorí jednoduché).

Nadácia Wikimedia. 2010.

T.j.
Intel 8048

Pozrite sa, čo sú „nezávislé identicky rozdelené náhodné premenné“ v iných slovníkoch:

Gambler's Ruin Problem- Problém skazy hráča je problém z oblasti teórie pravdepodobnosti. Podrobne to zvážil ruský matematik A. N. Shiryaev v monografii „Pravdepodobnosť“ ... Wikipedia

Udržateľná distribúcia- v teórii pravdepodobnosti ide o rozdelenie, ktoré možno získať ako hranicu rozdelenia súčtov nezávislých náhodných veličín. Obsah 1 Definícia 2 Poznámky ... Wikipedia

Vzorec Levy-Khinchin pre stabilnú distribúciu- Stabilné rozdelenie v teórii pravdepodobnosti je rozdelenie, ktoré možno získať ako limit rozdelenia súčtu nezávislých náhodných premenných. Obsah 1 Definícia 2 Poznámky 3 Vlastnosti stabilných distribúcií ... Wikipedia

Nekonečne deliteľné rozdelenie- v teórii pravdepodobnosti ide o rozdelenie náhodnej premennej tak, že ju možno znázorniť vo forme ľubovoľného počtu nezávislých, identicky rozdelených členov. Obsah 1 Definícia ... Wikipedia

Model Cramer-Lundberg- Cramer Lundbergov model je matematický model, ktorý umožňuje posúdiť riziká krachu poisťovne. V rámci tohto modelu sa predpokladá, že poistné je prijímané rovnomerne, v pomere konvenčných peňažných jednotiek na jednotku... ... Wikipedia

Levy-Khinchinov vzorec pre nekonečne deliteľné rozdelenie- Nekonečne deliteľné rozdelenie v teórii pravdepodobnosti je také rozdelenie náhodnej premennej, ktoré môže byť reprezentované ako ľubovoľný počet nezávislých, identicky rozdelených členov. Obsah 1 Definícia 2 ... ... Wikipedia

Model Cramer- Tento článok by mal byť wikiifikovaný. Naformátujte ho podľa pravidiel formátovania článku. Model Cramer Lundberg je matematický model, ktorý umožňuje posúdiť riziká bankrotu poisťovne... Wikipedia

Štatistická kontrola prijatia- súbor štatistických metód na monitorovanie hromadných výrobkov s cieľom zistiť, či sú v súlade so špecifikovanými požiadavkami. P.S. j) účinným prostriedkom na zabezpečenie dobrej kvality masových produktov. P.S. do. sa vykonáva dňa ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Multinomické rozdelenie- Multinomické (polynomické) rozdelenie v teórii pravdepodobnosti je zovšeobecnením binomického rozdelenia na prípad nezávislých testov náhodného experimentu s niekoľkými možnými výsledkami. Definícia Nechať nezávislé... ... Wikipedia

Polynomické rozdelenie- Multinomické (polynomické) rozdelenie v teórii pravdepodobnosti je zovšeobecnením binomického rozdelenia na prípad nezávislých testov náhodného experimentu s niekoľkými možnými výsledkami. Definícia: Nech sú nezávislí rovnocenní... ... Wikipedia

Na riešenie mnohých praktických problémov je potrebné poznať súbor podmienok, vďaka ktorým je výsledok kombinovaného vplyvu veľkého množstva náhodných faktorov takmer nezávislý od náhody. Tieto podmienky sú opísané v niekoľkých teorémoch, súhrnne nazývaných zákon veľkých čísel, kde náhodná premenná k sa rovná 1 alebo 0 v závislosti od toho, či je výsledkom k-tého pokusu úspech alebo neúspech. Sn je teda súčet n vzájomne nezávislých náhodných premenných, z ktorých každá má hodnoty 1 a 0 s pravdepodobnosťou p a q.

Najjednoduchšou formou zákona veľkých čísel je Bernoulliho veta, ktorá hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti rovnaká vo všetkých pokusoch, potom s narastajúcim počtom pokusov sa frekvencia udalosti približuje k pravdepodobnosti udalosti a prestáva byť náhodný.

Poissonova veta uvádza, že frekvencia udalosti v sérii nezávislých pokusov smeruje k aritmetickému priemeru jej pravdepodobností a prestáva byť náhodná.

Limitné vety teórie pravdepodobnosti, Moivre-Laplaceova veta vysvetľuje povahu stability frekvencie výskytu udalosti. Táto podstata spočíva v tom, že limitné rozdelenie počtu výskytov udalosti s neobmedzeným nárastom počtu pokusov (ak je pravdepodobnosť udalosti vo všetkých pokusoch rovnaká) je normálne rozdelenie.

Centrálna limitná veta vysvetľuje rozšírené rozdelenie zákona o normálnom rozdelení. Veta tvrdí, že kedykoľvek vznikne náhodná premenná ako výsledok sčítania veľkého počtu nezávislých náhodných premenných s konečnými rozptylmi, zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej sa ukáže ako takmer normálny zákon.

Ljapunovova veta vysvetľuje rozšírené rozdelenie zákona normálneho rozdelenia a vysvetľuje mechanizmus jeho vzniku. Veta nám umožňuje konštatovať, že kedykoľvek vznikne náhodná premenná v dôsledku sčítania veľkého počtu nezávislých náhodných premenných, ktorých rozptyly sú malé v porovnaní s disperziou súčtu, zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej sa zmení je to takmer normálny zákon. A keďže náhodné premenné sú vždy generované nekonečným množstvom príčin a najčastejšie žiadna z nich nemá rozptyl porovnateľný s rozptylom samotnej náhodnej premennej, väčšina náhodných premenných, s ktorými sa v praxi stretávame, podlieha zákonu normálneho rozdelenia.

Kvalitatívne a kvantitatívne vyjadrenia zákona veľkých čísel sú založené na Čebyševova nerovnosť. Určuje hornú hranicu pravdepodobnosti, že odchýlka hodnoty náhodnej premennej od jej matematického očakávania je väčšia ako určité zadané číslo. Je pozoruhodné, že Čebyševova nerovnosť dáva odhad pravdepodobnosti udalosti pre náhodnú premennú, ktorej distribúcia nie je známa, známe sú len jej matematické očakávania a rozptyl.

Čebyševova nerovnosť. Ak má náhodná premenná x rozptyl, potom pre ľubovoľné x > 0 platí nerovnosť, kde M x a D x - matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej x.

Bernoulliho veta. Nech x n je počet úspechov v n Bernoulliho pokusoch a p pravdepodobnosť úspechu v individuálnom pokuse. Potom pre každé s > 0 platí.

Ljapunovova veta. Nech s 1, s 2, …, s n, … je neobmedzená postupnosť nezávislých náhodných premenných s matematickými očakávaniami m 1, m 2, …, m n, … a rozptylmi s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Označme.

Potom = Ф(b) - Ф(a) pre ľubovoľné reálne čísla aab, kde Ф(x) je funkcia normálneho rozdelenia.

Nech je daná diskrétna náhodná premenná. Uvažujme závislosť počtu úspechov Sn od počtu pokusov n. Pre každý pokus sa Sn zvýši o 1 alebo 0. Toto tvrdenie možno zapísať ako:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Zákon veľkých čísel. Nech (k) je postupnosť vzájomne nezávislých náhodných premenných s rovnakým rozdelením. Ak existuje matematické očakávanie = M(k), potom pre ľubovoľné > 0 pre n

Inými slovami, pravdepodobnosť, že priemer S n / n sa líši od matematického očakávania o menej ako ľubovoľne daná hodnota, má tendenciu k jednej.

Centrálna limitná veta. Nech (k) je postupnosť vzájomne nezávislých náhodných premenných s rovnakým rozdelením. Predpokladajme, že existujú. Nech Sn = 1 +…+ n , Potom pre ľubovoľné pevné

F () -- F () (1,3)

Tu je Ф(х) funkcia normálneho rozdelenia. Túto vetu sformuloval a dokázal Linlberg. Ljapunov a ďalší autori to dokázali skôr, za prísnejších podmienok. Je potrebné si predstaviť, že vyššie formulovaná veta je len veľmi špeciálnym prípadom oveľa všeobecnejšej vety, ktorá zas úzko súvisí s mnohými ďalšími limitnými vetami. Všimnite si, že (1.3) je oveľa silnejšie ako (1.2), pretože (1.3) poskytuje odhad pravdepodobnosti, že rozdiel je väčší ako. Na druhej strane zákon veľkých čísel (1.2) platí aj vtedy, ak náhodné premenné k nemajú konečný rozptyl, takže platí pre všeobecnejší prípad ako centrálna limitná veta (1.3). Ilustrujme posledné dve vety na príkladoch.

Príklady. a) Zvážte postupnosť nezávislých hodov symetrickou kockou. Nech k je počet bodov získaných pri k-tom hode. Potom

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(12+22+32+42+52+62)/6-(3,5)2=35/12 a Sn/n

je priemerný počet bodov z n hodov.

Zákon veľkých čísel hovorí, že je pravdepodobné, že pre veľké n bude tento priemer blízky 3,5. Centrálna limitná veta udáva pravdepodobnosť, že |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Odber vzoriek. Predpokladajme, že v bežnej populácii

pozostávajúce z N rodín, Nk rodín má každá presne k detí

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Ak je rodina vybraná náhodne, potom počet detí v nej je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnotu s pravdepodobnosťou p = N/N. Pri nadväznom výbere možno vzorku veľkosti n vidieť ako súbor n nezávislých náhodných premenných alebo „pozorovaní“ 1, ..., n, ktoré majú všetky rovnaké rozdelenie; Sn/n je výberový priemer. Zákon veľkých čísel uvádza, že pre dostatočne veľkú náhodnú vzorku sa jej priemer pravdepodobne blíži k priemeru populácie. Centrálna limitná veta umožňuje odhadnúť pravdepodobnú veľkosť nesúladu medzi týmito priemermi a určiť veľkosť vzorky potrebnú na spoľahlivý odhad. V praxi a sú zvyčajne neznáme; vo väčšine prípadov je však ľahké získať predbežný odhad a vždy ho možno uzavrieť v rámci spoľahlivých hraníc. Ak chceme, aby bola pravdepodobnosť 0,99 alebo väčšia, že sa priemer vzorky S n / n líši od priemeru neznámej populácie o menej ako 1/10, potom sa veľkosť vzorky musí vziať tak, aby

Koreň x rovnice F(x) - F(-- x) = 0,99 sa rovná x = 2,57 ..., a preto n musí byť také, že 2,57 alebo n > 660. Starostlivý predbežný odhad umožňuje nájsť požadovanú veľkosť vzorky.

c) Poissonovo rozdelenie.

Predpokladajme, že náhodné premenné k majú Poissonovo rozdelenie (p(k;)). Potom má Sn Poissonovo rozdelenie so strednou hodnotou a rozptylom rovným n.

Písaním namiesto n dospejeme k záveru, že pre n

Sčítanie sa vykoná cez všetky k od 0 do. Ph-la (1.5) platí aj pri ľubovoľnom spôsobe.

Uvažujme n vzájomne nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , …,Xn, ktoré majú rovnaké distribúcie, a teda aj rovnaké charakteristiky (matematické očakávanie, disperzia atď.). Najväčší záujem je o štúdium numerických charakteristík aritmetického priemeru týchto veličín.

Označme aritmetický priemer náhodných premenných:

Nasledujúce tri ustanovenia vytvárajú spojenie medzi numerickými charakteristikami aritmetického priemeru a zodpovedajúcimi charakteristikami každej jednotlivej veličiny.

1. Matematické očakávanie aritmetického priemeru identicky rozdelených vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná matematickému očakávaniu a každej z premenných:

Dôkaz. Pomocou vlastností matematického očakávania (konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania; matematické očakávanie súčtu sa rovná súčtu matematických očakávaní členov)

Berúc do úvahy, že matematické očakávanie každej z veličín podľa podmienky sa rovná A, dostaneme

2. Rozptyl aritmetického priemeru n identicky rozdelené vzájomne nezávislé náhodné premenné v n krát menší rozptyl D každé z množstiev:

Dôkaz. Pomocou vlastností disperzie (konštantný faktor možno zo znamienka disperzie vyňať jeho kvadratúrou; disperzia súčtu nezávislých veličín sa rovná súčtu disperzií členov)

Berúc do úvahy, že rozptyl každej z veličín podľa podmienky je rovný D, dostaneme

3. Smerodajná odchýlka aritmetického priemeru n identicky rozdelené vzájomne nezávislé náhodné premenné sú krát menšie ako štandardná odchýlka a každej z hodnôt:

Dôkaz. Od , potom sa štandardná odchýlka rovná

Všeobecný záver zo vzorcov (7.3) a (7.4): pripomínajúc, že disperzia a smerodajná odchýlka slúžia ako miera rozptylu náhodnej premennej, sme dospeli k záveru, že aritmetický priemer dostatočne veľkého počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných má výrazne menej rozptyl ako každá jednotlivá hodnota.

Vysvetlime si na príklade význam tohto záveru pre prax.

a) aritmetický priemer poskytuje spoľahlivejší výsledok ako jednotlivé merania;

b) s nárastom počtu meraní sa zvyšuje spoľahlivosť tohto výsledku.

Riešenie. a) Je známe, že jednotlivé merania dávajú rôzne hodnoty meranej veličiny. Výsledok každého merania závisí od mnohých náhodných príčin (zmeny teploty, kolísanie prístrojov a pod.), ktoré nie je možné vopred plne zohľadniť.

Preto máme právo zvážiť možné výsledky n jednotlivé merania ako náhodné veličiny X 1 , X 2 , …,Xn(index označuje číslo merania). Tieto veličiny majú rovnaké rozdelenie pravdepodobnosti (merania sa vykonávajú rovnakou metódou a rovnakými prístrojmi), a teda rovnaké číselné charakteristiky; navyše sú navzájom nezávislé (výsledok každého jednotlivého merania nezávisí od iných meraní).

Ako sa ukázalo, aritmetický priemer takýchto veličín má menší rozptyl ako každá jednotlivá veličina. Inými slovami, ukazuje sa, že aritmetický priemer je bližšie k skutočnej hodnote nameranej hodnoty ako výsledok samostatného merania. To znamená, že aritmetický priemer niekoľkých meraní poskytuje spoľahlivejší výsledok ako jedno meranie.

b) Je známe, že so zvyšujúcim sa počtom jednotlivých náhodných premenných klesá rozptyl aritmetického priemeru. To znamená, že so zvyšujúcim sa počtom meraní sa aritmetický priemer niekoľkých meraní stále menej líši od skutočnej hodnoty nameranej hodnoty. Zvýšením počtu meraní sa teda získa spoľahlivejší výsledok.

Napríklad, ak je smerodajná odchýlka jednotlivého merania s = 6 m, a celkom n= 36 meraní, potom je štandardná odchýlka aritmetického priemeru týchto meraní iba 1 m.

Je zrejmé, že aritmetický priemer niekoľkých meraní, ako by sa dalo očakávať, sa ukázal byť bližšie k skutočnej hodnote nameranej hodnoty ako výsledok samostatného merania.

Práca na kurze

na tému: „Zákony veľkých čísel“

Identicky rozdelené náhodné premenné

Poissonova veta hovorí, že frekvencia udalosti v sérii nezávislých pokusov smeruje k aritmetickému priemeru jej pravdepodobností a prestáva byť náhodná.

Centrálna limitná veta vysvetľuje rozšírené rozdelenie zákona normálneho rozdelenia. Veta tvrdí, že kedykoľvek vznikne náhodná premenná ako výsledok sčítania veľkého počtu nezávislých náhodných premenných s konečnými rozptylmi, zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej sa ukáže ako takmer normálny zákon.

Lyapunovova veta vysvetľuje rozšírené rozdelenie zákona normálneho rozdelenia a vysvetľuje mechanizmus jeho vzniku. Veta nám umožňuje konštatovať, že kedykoľvek vznikne náhodná premenná v dôsledku sčítania veľkého počtu nezávislých náhodných premenných, ktorých rozptyly sú malé v porovnaní s disperziou súčtu, zákon rozdelenia tejto náhodnej premennej sa zmení je to takmer normálny zákon. A keďže náhodné premenné sú vždy generované nekonečným množstvom príčin a najčastejšie žiadna z nich nemá rozptyl porovnateľný s rozptylom samotnej náhodnej premennej, väčšina náhodných premenných, s ktorými sa v praxi stretávame, podlieha zákonu normálneho rozdelenia.

Čebyševova nerovnosť. Ak má náhodná premenná x rozptyl, potom pre ľubovoľné x > 0 platí nerovnosť, kde M x a D x - matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej x.

Bernoulliho veta. Nech x n je počet úspechov v n Bernoulliho pokusoch a p pravdepodobnosť úspechu v individuálnom pokuse. Potom pre ľubovoľné s > 0, .

Ljapunovova veta. Nech s 1 , s 2 , …, s n , … je neobmedzená postupnosť nezávislých náhodných premenných s matematickými očakávaniami m 1 , m 2 , …, m n , … a rozptylmi s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Označme , , , .

Potom = Ф(b) - Ф(a) pre ľubovoľné reálne čísla aab, kde Ф(x) je funkcia normálneho rozdelenia.

Nech je daná diskrétna náhodná premenná. Uvažujme závislosť počtu úspechov Sn od počtu pokusov n. Pre každý pokus sa Sn zvýši o 1 alebo 0. Toto tvrdenie možno zapísať ako:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Zákon veľkých čísel. Nech (k) je postupnosť vzájomne nezávislých náhodných premenných s rovnakým rozdelením. Ak existuje matematické očakávanie = M(k), potom pre ľubovoľné > 0 pre n

Inými slovami, pravdepodobnosť, že priemer S n / n sa líši od matematického očakávania o menej ako ľubovoľne daná hodnota, má tendenciu k jednej.

Centrálna limitná veta. Nech (k) je postupnosť vzájomne nezávislých náhodných premenných s rovnakým rozdelením. Predpokladajme, že existujú. Nech Sn = 1 +…+ n , Potom pre ľubovoľné pevné

F () - F () (1,3)

Tu je Ф(х) funkcia normálneho rozdelenia. Túto vetu sformuloval a dokázal Linlberg. Ljapunov a ďalší autori to dokázali skôr, za prísnejších podmienok. Je potrebné si predstaviť, že vyššie formulovaná veta je len veľmi špeciálnym prípadom oveľa všeobecnejšej vety, ktorá zas úzko súvisí s mnohými ďalšími limitnými vetami. Všimnite si, že (1.3) je oveľa silnejšie ako (1.2), pretože (1.3) poskytuje odhad pravdepodobnosti, že rozdiel je väčší ako . Na druhej strane zákon veľkých čísel (1.2) platí aj vtedy, ak náhodné premenné k nemajú konečný rozptyl, takže platí pre všeobecnejší prípad ako centrálna limitná veta (1.3). Ilustrujme posledné dve vety na príkladoch.

Príklady. a) Zvážte postupnosť nezávislých hodov symetrickou kockou. Nech k je počet bodov získaných pri k-tom hode. Potom

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(12+22+32+42+52+62)/6-(3,5)2=35/12 a Sn/n

je priemerný počet bodov z n hodov.

Zákon veľkých čísel hovorí, že je pravdepodobné, že pre veľké n bude tento priemer blízky 3,5. Centrálna limitná veta udáva pravdepodobnosť, že |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Odber vzoriek. Predpokladajme, že v bežnej populácii

pozostávajúce z N rodín, Nk rodín má každá presne k detí

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Ak je rodina vybraná náhodne, potom počet detí v nej je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnotu s pravdepodobnosťou p = N /N. Pri nadväznom výbere možno vzorku veľkosti n vidieť ako súbor n nezávislých náhodných premenných alebo „pozorovaní“ 1, ..., n, ktoré majú všetky rovnaké rozdelenie; Sn/n je výberový priemer. Zákon veľkých čísel uvádza, že pre dostatočne veľkú náhodnú vzorku sa priemer pravdepodobne blíži k , teda priemeru populácie. Centrálna limitná veta umožňuje odhadnúť pravdepodobnú veľkosť nesúladu medzi týmito priemermi a určiť veľkosť vzorky potrebnú na spoľahlivý odhad. V praxi a sú zvyčajne neznáme; vo väčšine prípadov je však ľahké získať predbežný odhad a vždy ho možno uzavrieť v rámci spoľahlivých hraníc. Ak chceme, aby bola pravdepodobnosť 0,99 alebo väčšia, že sa priemer vzorky S n / n líši od priemeru neznámej populácie o menej ako 1/10, potom sa veľkosť vzorky musí vziať tak, aby

Koreň x rovnice F(x) - F(- x) = 0,99 je x = 2,57..., a preto n musí byť také, že 2,57 alebo n > 660. Starostlivý predbežný odhad umožňuje nájsť požadovanú veľkosť vzorky.

c) Poissonovo rozdelenie.

Predpokladajme, že náhodné premenné k majú Poissonovo rozdelenie (p(k; )). Potom má Sn Poissonovo rozdelenie so strednou hodnotou a rozptylom rovným n.

Ak napíšeme namiesto n, dôjdeme k záveru, že pre n

Sčítanie sa vykoná pre všetky k od 0 do . Ph-la (1.5) platí aj pri ľubovoľnom spôsobe.