Uhol medzi dvoma priamkami v rovine. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami
Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami. V prvom odseku vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom sa pozrieme na spôsoby, akými môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), uvedieme potrebné vzorce a presne ukážeme príklady ako sa používajú v praxi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Aby sme pochopili, aký je uhol vytvorený pri pretínaní dvoch čiar, musíme si zapamätať samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.
Definícia 1
Dve priamky, ktoré sa pretínajú, nazývame, ak majú jeden spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch priamok.
Každá priamka je rozdelená priesečníkom na lúče. Obe priamky tvoria 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, potom môžeme určiť zvyšné.
Povedzme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V tomto prípade sa uhol, ktorý je vzhľadom k nemu vertikálny, bude rovnať aj α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α. Ak sa α rovná 90 stupňom, potom všetky uhly budú pravé. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmu kolmosti je venovaný samostatný článok).
Pozrite sa na obrázok:
Prejdime k formulácii hlavnej definície.
Definícia 2
Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tvoria tieto dve čiary.
Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0, 90]. Ak sú čiary kolmé, potom bude uhol medzi nimi v každom prípade rovných 90 stupňov.
Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné zvoliť z niekoľkých možností.
Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o komplementárnych uhloch, môžeme ich spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných útvarov. Napríklad, ak poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je pre naše riešenie vhodná kosínusová veta. Ak máme v našej podmienke pravouhlý trojuholník, tak na výpočty budeme potrebovať poznať aj sínus, kosínus a tangens uhla.
Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.
Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y, v ktorom sú dané dve priamky. Označme ich písmenami a a b. Priame čiary možno opísať pomocou niektorých rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M. Ako určiť požadovaný uhol (označme ho α) medzi týmito priamkami?
Začnime formulovaním základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.
Vieme, že pojem priamka úzko súvisí s takými pojmami, ako je smerový vektor a normálový vektor. Ak máme rovnicu určitej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.
Uhol zvieraný dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:
- uhol medzi smerovými vektormi;
- uhol medzi normálovými vektormi;
- uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.
Teraz sa pozrime na každú metódu samostatne.
1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x, a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x, b y). Teraz nakreslíme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej priamke. Potom máme štyri možnosti ich relatívneho usporiadania. Pozri ilustráciu:
Ak uhol medzi dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Ak je tupý, potom sa požadovaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a →, b → ^. Teda α = a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .
Na základe skutočnosti, že kosínusy rovnakých uhlov sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať takto: cos α = cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ > 90 °.
V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. teda
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Posledný vzorec napíšme slovami:
Definícia 3
Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.
Všeobecná forma vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) vyzerá takto:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Samotný uhol potom možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tu a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory daných čiar.
Uveďme príklad riešenia problému.
Príklad 1
V pravouhlom súradnicovom systéme v rovine sú dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať pomocou parametrických rovníc x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3. Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.
Riešenie
V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto čiaru si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov pre parameter, t.j. priamka x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4, 1).
Druhý riadok je opísaný pomocou kanonickej rovnice x 5 = y - 6 - 3. Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5 , - 3) .
Ďalej prejdeme priamo k hľadaniu uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho dosaďte existujúce súradnice dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Získame nasledovné:
α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = arc cos 17 17 34 = arc cos 1 2 = 45 °
Odpoveď: Tieto priame čiary zvierajú uhol 45 stupňov.
Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálovým vektorom n a → = (n a x , n a y) a priamku b s normálovým vektorom n b → = (n b x , n b y), potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi n a → a n b → alebo uhol, ktorý bude susediť s n a →, n b → ^. Táto metóda je znázornená na obrázku:
Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a 2 + n b y + n a 2 + n b y 2
Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.
Príklad 2
V pravouhlom súradnicovom systéme sú dve priamky dané pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite sínus a kosínus uhla medzi nimi a veľkosť tohto uhla samotného.
Riešenie
Pôvodné čiary sú špecifikované pomocou rovníc normálnych čiar v tvare A x + B y + C = 0. Normálny vektor označíme ako n → = (A, B). Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jeden riadok a napíšme ich: n a → = (3, 5) . Pre druhý riadok x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1, 4). Teraz pridajte získané hodnoty do vzorca a vypočítajte súčet:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou základnej goniometrickej identity. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34.
Odpoveď: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34
Analyzujme posledný prípad - nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.
Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (a x , a y) a priamka b má normálový vektor n b → = (n b x , n b y) . Tieto vektory musíme odložiť od priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri na obrázku:
Ak uhol medzi danými vektormi nie je väčší ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ak a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:
a → , n b → ^ > 90 ° , potom a → , n b → ^ = 90 ° + α
Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pre a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pre a → , n b → ^ > 90 ° .
teda
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Sformulujme záver.
Definícia 4
Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.
Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Nájdenie samotného uhla:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.
Príklad 3
Dve pretínajúce sa čiary sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite uhol priesečníka.
Riešenie
Súradnice vodiaceho a normálového vektora berieme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) a n → b = (1, 4). Zoberieme vzorec α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a vypočítame:
α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34
Upozorňujeme, že sme prevzali rovnice z predchádzajúcej úlohy a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.
odpoveď:α = a rc sin 7 2 34
Ukážme si iný spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou uhlových koeficientov daných priamok.
Máme priamku a, ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 x + b 1, a priamku b, definovanú ako y = k 2 x + b 2. Sú to rovnice priamok so sklonmi. Na nájdenie uhla priesečníka použijeme vzorec:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú sklony daných čiar. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla cez súradnice normálových vektorov.
Príklad 4
V rovine sa pretínajú dve priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4. Vypočítajte hodnotu uhla priesečníka.
Riešenie
Uhlové koeficienty našich čiar sa rovnajú k 1 = - 3 5 a k 2 = - 1 4. Pridajme ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajme:
α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34
odpoveď:α = a rc cos 23 2 34
V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. K tomu stačí poznať súradnice vodiacich čiar a/alebo normálových vektorov daných čiar a vedieť ich určiť pomocou rôznych typov rovníc. Ale je lepšie si zapamätať alebo zapísať vzorce na výpočet kosínusu uhla.
Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore
Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie veľkosti uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady sa používa rovnaké zdôvodnenie, aké sme uviedli predtým.
Predpokladajme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený v trojrozmernom priestore. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M. Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Smerové vektory označme a → = (a x , a y, a z) a b → = (b x , b y, b z) . Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Príklad 5
Máme priamku definovanú v trojrozmernom priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.
Riešenie
Označme uhol, ktorý je potrebné vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku – a → = (1, - 3, - 2) . Pre aplikačnú os môžeme použiť súradnicový vektor k → = (0, 0, 1). Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich pridať do požadovaného vzorca:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
V dôsledku toho sme zistili, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a rc cos 1 2 = 45 °.
odpoveď: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.
Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom
Kolmo na danú čiaru
Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako
.
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
ki = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p/4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.
Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.
Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.
Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: 
odkiaľ b = 17. Spolu: . 
Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok
1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,
r - r 1 = k(X - X 1). (1)
Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.
2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2), napísané takto:
Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom
3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom
r = k 1 X + B 1 ,
r = k 2 X + B 2 , (4)
potom je uhol medzi nimi určený vzorcom
Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.
Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnom tvare
A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)
uhol medzi nimi je určený vzorcom
4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:
a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich uhlových koeficientov:
k 1 = k 2 . (8)
b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.
5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:
a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.
Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), potom podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy
1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.
A. Uveďme dve priame čiary, ktoré, ako je uvedené v kapitole 1, tvoria rôzne kladné a záporné uhly, ktoré môžu byť ostré alebo tupé. Keď poznáme jeden z týchto uhlov, môžeme ľahko nájsť ktorýkoľvek iný.
Mimochodom, pre všetky tieto uhly je číselná hodnota dotyčnice rovnaká, rozdiel môže byť len v znamienku
Rovnice čiar. Čísla sú priemety smerových vektorov prvej a druhej priamky.Uhol medzi týmito vektormi sa rovná jednému z uhlov tvorených priamkami. Preto je problém určiť uhol medzi vektormi
Pre jednoduchosť sa môžeme dohodnúť, že uhol medzi dvoma priamkami je ostrý kladný uhol (ako napr. na obr. 53).
Potom bude dotyčnica tohto uhla vždy kladná. Ak je teda na pravej strane vzorca (1) znamienko mínus, musíme ho zahodiť, t.j. uložiť len absolútnu hodnotu.
Príklad. Určte uhol medzi priamymi čiarami
Podľa vzorca (1) máme
s. Ak je naznačené, ktorá zo strán uhla je jeho začiatkom a ktorá je jeho koncom, potom, vždy počítajúc smer uhla proti smeru hodinových ručičiek, môžeme zo vzorca (1) získať niečo viac. Ako je ľahko vidieť z obr. 53, znamienko získané na pravej strane vzorca (1) udáva, aký uhol - ostrý alebo tupý - tvorí druhá priamka s prvou.
(Z obr. 53 vidíme, že uhol medzi vektorom prvého a druhého smeru sa buď rovná požadovanému uhlu medzi priamkami, alebo sa od neho líši o ±180°.)
d. Ak sú priamky rovnobežné, tak ich smerové vektory sú rovnobežné.Aplikovaním podmienky rovnobežnosti dvoch vektorov dostaneme!
Toto je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar.
Príklad. Priamy
sú paralelné, pretože
e. Ak sú čiary kolmé, ich smerové vektory sú tiež kolmé. Aplikovaním podmienky kolmosti dvoch vektorov získame podmienku kolmosti dvoch priamok, a to
Príklad. Priamy
sú kolmé vzhľadom na to, že
V súvislosti s podmienkami rovnobežnosti a kolmosti budeme riešiť nasledujúce dva problémy.
f. Nakreslite čiaru cez bod rovnobežný s danou čiarou
Riešenie sa vykonáva takto. Keďže požadovaná priamka je rovnobežná s touto, potom za jej smerový vektor môžeme brať ten istý, ako má daná priamka, t.j. vektor s priemetmi A a B. Potom rovnicu požadovanej priamky zapíšeme v tlačivo (§ 1)
Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (1; 3) rovnobežne s priamkou
bude ďalší!
g. Nakreslite čiaru cez bod kolmý na danú čiaru
Tu už nie je vhodné brať vektor s projekciami A a ako vodiaci vektor, ale je potrebné brať vektor kolmo naň. Priemetne tohto vektora treba teda voliť podľa podmienky kolmosti oboch vektorov, teda podľa podmienky
Táto podmienka môže byť splnená nespočetnými spôsobmi, keďže tu je jedna rovnica s dvoma neznámymi, ale najjednoduchšie je zobrať alebo Potom rovnicu požadovanej priamky zapíšeme v tvare
Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (-7; 2) v kolmej priamke
bude nasledovné (podľa druhého vzorca)!
h. V prípade, keď sú čiary dané rovnicami tvaru
Uhol medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.
Nech sú v priestore uvedené dve čiary:
Je zrejmé, že uhol φ medzi priamkami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Pretože potom pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme
Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:
Dve rovno paralelný vtedy a len vtedy, ak sú im zodpovedajúce koeficienty pomerné, t.j. l 1 rovnobežka l 2 vtedy a len vtedy, ak sú rovnobežné 
.
Dve rovno kolmý práve vtedy, ak súčet súčinov príslušných koeficientov je rovný nule: .
U cieľ medzi čiarou a rovinou
Nech je to rovno d- nie je kolmá na rovinu θ;
d′− projekcia priamky d k rovine 9;
Najmenší uhol medzi priamymi čiarami d A d"zavoláme uhol medzi priamkou a rovinou.
Označme to ako φ=( d,θ)
Ak d⊥θ, potom ( d,0) = π/2
Oi→j→k→− pravouhlý súradnicový systém.
Rovinná rovnica:
θ: Ax+Autor:+Cz+D=0
Predpokladáme, že priamka je definovaná bodom a smerovým vektorom: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Potom zostáva zistiť uhol medzi vektormi n→ a p→, označme to ako γ=( n→,p→).
Ak je uhol γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ak je uhol γ>π/2, potom požadovaný uhol je φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
potom uhol medzi priamkou a rovinou možno vypočítať pomocou vzorca:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Otázka 29. Pojem kvadratickej formy. Znamenková určitosť kvadratických foriem.
Kvadratický tvar j (x 1, x 2, …, x n) n reálnych premenných x 1, x 2, …, x n sa nazýva súčet tvaru 
, (1)
Kde a ij – niektoré čísla nazývané koeficienty. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať a ij = a ji.
Kvadratická forma je tzv platný, Ak a ij
Î GR. Matica kvadratického tvaru sa nazýva matica zložená z jej koeficientov. Kvadratický tvar (1) zodpovedá jedinej symetrickej matici 
Teda A T = A. V dôsledku toho možno kvadratickú formu (1) zapísať v maticovom tvare j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
A naopak, každá symetrická matica (2) zodpovedá jedinej kvadratickej forme až po zápis premenných.
Hodnosť kvadratického tvaru sa nazýva hodnosť jeho matice. Kvadratická forma je tzv nedegenerovaný, ak jeho matica nie je jednotná A. (pripomeňme, že matica A sa nazýva nedegenerovaný, ak jeho determinant nie je rovný nule). V opačnom prípade je kvadratická forma degenerovaná.
kladné definitívne(alebo striktne pozitívne), ak
j ( X) > 0 , pre hocikoho X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).
Matrix A pozitívne definitná kvadratická forma j ( X) sa nazýva aj pozitívne definitíva. Pozitívne definitná kvadratická forma teda zodpovedá jedinečnej pozitívne definitívnej matici a naopak.
Kvadratická forma (1) sa nazýva negatívne definované(alebo striktne negatívne), ak
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).
Podobne ako vyššie, matica negatívne definitívnej kvadratickej formy sa tiež nazýva negatívne definitná.
V dôsledku toho je kladná (záporná) určitá kvadratická forma j ( X) dosiahne minimálnu (maximálnu) hodnotu j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Všimnite si, že väčšina kvadratických foriem nie je znamienkovo definovaná, to znamená, že nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Takéto kvadratické formy zanikajú nielen v počiatku súradnicového systému, ale aj v iných bodoch.
Kedy n> 2, na kontrolu znamienka kvadratického tvaru sú potrebné špeciálne kritériá. Pozrime sa na ne.
Hlavne maloletí kvadratické formy sa nazývajú maloletí:
to znamená, že ide o maloletých v poradí 1, 2, ..., n matice A, umiestnený v ľavom hornom rohu, posledný z nich sa zhoduje s determinantom matice A.
Pozitívne kritérium jednoznačnosti (Sylvesterovo kritérium)
X) = x T Ah bol kladný jednoznačný, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné maloleté matice A boli pozitívne, teda: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatívne kritérium istoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah bol záporne určitý, je potrebné a postačujúce, aby jeho hlavné maloleté osoby párneho rádu boli kladné a nepárneho rádu boli záporné, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Inštrukcie
Poznámka
Perióda dotyčnice goniometrickej funkcie sa rovná 180 stupňom, čo znamená, že uhly sklonu priamok nemôžu v absolútnej hodnote prekročiť túto hodnotu.
Užitočné rady
Ak sú uhlové koeficienty navzájom rovnaké, potom je uhol medzi týmito čiarami 0, pretože tieto čiary sa buď zhodujú, alebo sú rovnobežné.
Na určenie hodnoty uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je potrebné presunúť obe čiary (alebo jednu z nich) do novej polohy pomocou metódy paralelného prekladu, kým sa nepretnú. Potom by ste mali nájsť uhol medzi výslednými pretínajúcimi sa čiarami.
Budete potrebovať
- Pravítko, pravouhlý trojuholník, ceruzka, uhlomer.
Inštrukcie
Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N sa rovná: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Na výpočet uhla v stupňoch alebo radiánoch je potrebné z výsledného výrazu vypočítať inverznú funkciu ku kosínusu, t.j. arkkozín:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Príklad: nájsť rohu medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo, dané všeobecnou rovnicou 2 x – 5 y + 3 z = 0. Riešenie: zapíšte súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Dosaďte všetky známe hodnoty do daného vzorca: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video k téme
Priamka, ktorá má jeden spoločný bod s kružnicou, je dotyčnicou kružnice. Ďalšou vlastnosťou dotyčnice je, že je vždy kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku, to znamená, že dotyčnica a polomer tvoria priamku. rohu. Ak sú dve dotyčnice ku kružnici AB a AC nakreslené z jedného bodu A, potom sú si vždy rovné. Určenie uhla medzi dotyčnicami ( rohu ABC) sa robí pomocou Pytagorovej vety.
Inštrukcie
Na určenie uhla potrebujete poznať polomer kružnice OB a OS a vzdialenosť začiatočného bodu dotyčnice od stredu kružnice - O. Takže uhly ABO a ACO sú rovnaké, polomer OB je, napríklad 10 cm a vzdialenosť od stredu kružnice AO je 15 cm Dĺžku dotyčnice určte pomocou vzorca podľa Pytagorovej vety: AB = druhá odmocnina z AO2 – OB2 alebo 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
