Ako riešiť inverzné goniometrické funkcie. Vyjadrime sa cez všetky inverzné goniometrické funkcie

Inverzné goniometrické funkcie sú matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám.

Funkcia y=arcsin(x)

Arkussínus čísla α je číslo α z intervalu [-π/2;π/2], ktorého sínus je rovný α.
Graf funkcie
Funkcia у= sin⁡(x) na intervale [-π/2;π/2] je striktne rastúca a spojitá; má teda inverznú funkciu, prísne rastúcu a spojitú.
Inverzná funkcia pre funkciu y= sin⁡(x), kde x ∈[-π/2;π/2], sa nazýva arcsínus a označuje sa y=arcsin(x), kde x∈[-1;1 ].
Takže podľa definície inverznej funkcie je doménou definície arcsínus segment [-1;1] a množina hodnôt je segment [-π/2;π/2].
Všimnite si, že graf funkcie y=arcsin(x), kde x ∈[-1;1], je symetrický ku grafu funkcie y= sin(⁡x), kde x∈[-π/2;π /2], vzhľadom na os súradnicových uhlov prvej a tretej štvrtiny.

Rozsah funkcií y=arcsin(x).

Príklad č.1.

Nájsť arcsin(1/2)?

Keďže rozsah hodnôt funkcie arcsin(x) patrí do intervalu [-π/2;π/2], potom je vhodná iba hodnota π/6. Preto arcsin(1/2) =π/ 6.
Odpoveď: π/6

Príklad č.2.
Nájsť arcsin(-(√3)/2)?

Keďže rozsah hodnôt arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], potom je vhodná iba hodnota -π/3. Preto arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funkcia y=arccos(x)

Oblúkový kosínus čísla α je číslo α z intervalu, ktorého kosínus sa rovná α.

Graf funkcie

Funkcia y= cos(⁡x) na segmente je striktne klesajúca a spojitá; má teda inverznú funkciu, striktne klesajúcu a spojitú.
Volá sa inverzná funkcia pre funkciu y= cos⁡x, kde x ∈ oblúkový kosínus a označuje sa y=arccos(x), kde x ∈[-1;1].
Takže podľa definície inverznej funkcie je doménou definície oblúkového kosínusu segment [-1;1] a množinou hodnôt je segment.
Všimnite si, že graf funkcie y=arccos(x), kde x ∈[-1;1] je symetrický ku grafu funkcie y= cos(⁡x), kde x ∈, vzhľadom na osi súradnicové uhly prvej a tretej štvrtiny.

Rozsah funkcií y=arccos(x).

Príklad č.3.

Nájsť arccos(1/2)?

Keďže rozsah hodnôt funkcie arccos(x) patrí do intervalu, potom je vhodná iba hodnota 3π/4. Preto arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Odpoveď: 3π/4

Funkcia y=arctg(x)

Arkustangens čísla α je číslo α z intervalu [-π/2;π/2], ktorého dotyčnica sa rovná α.

Graf funkcie

Funkcia dotyčnice je spojitá a striktne rastúca na intervale (-π/2;π/2); preto má inverznú funkciu, ktorá je spojitá a striktne rastúca.
Inverzná funkcia pre funkciu y= tan⁡(x), kde x∈(-π/2;π/2); sa nazýva arkustangens a označuje sa y=arctg(x), kde x∈R.
Takže podľa definície inverznej funkcie je doménou definície arkustangens interval (-∞;+∞) a množinou hodnôt je interval
(-π/2;π/2).
Všimnite si, že graf funkcie y=arctg(x), kde x∈R, je symetrický ku grafu funkcie y= tan⁡x, kde x ∈ (-π/2;π/2), vzhľadom na os súradnicových uhlov prvej a tretej štvrtiny.

Rozsah funkcie y=arctg(x).

Príklad č. 5?

Nájdite arctan((√3)/3).

Keďže rozsah hodnôt arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), potom je vhodná iba hodnota π/6. Preto arctg((√3)/3) =π/6.
Príklad č.6.
Nájsť arctg(-1)?

Keďže rozsah hodnôt arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), potom je vhodná iba hodnota -π/4. Preto arctg(-1) = - π/4.

Funkcia y=arcctg(x)

Graf funkcie

Na intervale (0;π) funkcia kotangens striktne klesá; okrem toho je spojitý v každom bode tohto intervalu; preto na intervale (0;π) má táto funkcia inverznú funkciu, ktorá je striktne klesajúca a spojitá.
Inverzná funkcia pre funkciu y=ctg(x), kde x ∈(0;π), sa nazýva arkkotangens a označuje sa y=arcctg(x), kde x∈R.
Takže podľa definície inverznej funkcie bude doména definície arckotangens R a množina hodnôt bude interval (0;π). Graf funkcie y=arcctg(x) , kde x∈R je symetrické ku grafu funkcie y=ctg(x) x∈(0 ;π), relatívne k osi súradnicových uhlov prvej a tretej štvrtiny.

Rozsah funkcií y=arcctg(x).

Príklad č. 8.
Nájsť arcctg(-(√3)/3)?

Keďže rozsah hodnôt je arcctg(x) x∈(0;π), potom je vhodná iba hodnota 2π/3. Preto arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Lekcie 32-33. Inverzné goniometrické funkcie

Cieľ: zvážiť inverzné goniometrické funkcie a ich použitie na písanie riešení goniometrických rovníc.

I. Komunikácia témy a účelu vyučovacích hodín

II. Učenie sa nového materiálu

1. Inverzné goniometrické funkcie

Začnime našu diskusiu na túto tému nasledujúcim príkladom.

Príklad 1

Poďme vyriešiť rovnicu: a) sin x = 1/2; b) hriech x = a.

a) Na zvislú os nanesieme hodnotu 1/2 a zostrojíme uhly x 1 a x2, pre ktoré hriech x = 1/2. V tomto prípade x1 + x2 = π, odkiaľ x2 = π – x 1 . Pomocou tabuľky hodnôt goniometrických funkcií potom nájdeme hodnotu x1 = π/6Zoberme do úvahy periodicitu funkcie sínus a zapíšme si riešenia tejto rovnice:kde k ∈ Z.

b) Samozrejme, algoritmus na riešenie rovnice hriech x = a je rovnaké ako v predchádzajúcom odseku. Samozrejme, teraz je hodnota a vynesená pozdĺž osi y. Je potrebné nejako určiť uhol x1. Dohodli sme sa, že tento uhol označíme symbolom arcsin A. Potom môžu byť riešenia tejto rovnice zapísané v tvareTieto dva vzorce je možné spojiť do jedného: kde

Zostávajúce inverzné goniometrické funkcie sú zavedené podobným spôsobom.

Veľmi často je potrebné určiť veľkosť uhla zo známej hodnoty jeho goniometrickej funkcie. Takýto problém je viachodnotový – existuje nespočetné množstvo uhlov, ktorých goniometrické funkcie sa rovnajú rovnakej hodnote. Preto sa na základe monotónnosti goniometrických funkcií zavádzajú nasledujúce inverzné goniometrické funkcie na jednoznačné určenie uhlov.

Arksínus čísla a (arcsín , ktorého sínus sa rovná a, t.j.

Oblúkový kosínus čísla a(arccos a) je uhol a z intervalu, ktorého kosínus sa rovná a, t.j.

Arkustangens čísla a(arctg a) - taký uhol a z intervaluktorého dotyčnica sa rovná a, t.j.tg a = a.

Arkotangens čísla a(arcctg a) je uhol a z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a, t.j. ctg a = a.

Príklad 2

Poďme nájsť:

Ak vezmeme do úvahy definície inverzných goniometrických funkcií, získame:

Príklad 3

Poďme počítať

Nech uhol a = arcsin 3/5, potom podľa definície sin a = 3/5 a . Preto musíme nájsť cos A. Pomocou základnej goniometrickej identity dostaneme:Berie sa do úvahy, že cos a ≥ 0. Takže,

Uveďme niekoľko typickejších príkladov súvisiacich s definíciami a základnými vlastnosťami inverzných goniometrických funkcií.

Príklad 4

Nájdite doménu definície funkcie

Aby bola funkcia y definovaná, je potrebné splniť nerovnosťčo je ekvivalentné so systémom nerovnostíRiešením prvej nerovnosti je interval x∈ (-∞; +∞), sekunda - Tento interval a je riešením sústavy nerovníc, a teda doménou definície funkcie

Príklad 5

Nájdite oblasť zmeny funkcie

Pozrime sa na správanie funkcie z = 2x - x2 (pozri obrázok).

Je jasné, že z ∈ (-∞; 1]. Vzhľadom na to, že argument z funkcia kotangens oblúka sa mení v zadaných medziach, z tabuľkových údajov to získameTakže oblasť zmeny

Príklad 6

Dokážme, že funkcia y = arctg x nepárne. NechajPotom tg a = -x alebo x = - tg a = tg (- a) a Preto - a = arctg x alebo a = - arctg X. Tak to vidímetj y(x) je nepárna funkcia.

Príklad 7

Vyjadrime sa cez všetky inverzné goniometrické funkcie

Nechaj To je zrejmé Potom odvtedy

Predstavme si uhol Pretože To

Preto rovnako A

takže,

Príklad 8

Zostrojme graf funkcie y = cos(arcsin x).

Označme teda a = arcsin x Zoberme si, že x = sin a a y = cos a, teda x 2 + y2 = 1 a obmedzenia pre x (x∈ [-1; 1]) a y (y ≥ 0). Potom graf funkcie y = cos(arcsin x) je polkruh.

Príklad 9

Zostrojme graf funkcie y = arccos (cos x).

Keďže funkcia cos x sa mení na intervale [-1; 1], potom je funkcia y definovaná na celej číselnej osi a mení sa na segmente . Majme na pamäti, že y = arccos (cosx) = x na segmente; funkcia y je párna a periodická s periódou 2π. Vzhľadom na to, že funkcia má tieto vlastnosti cos x Teraz je jednoduché vytvoriť graf.

Všimnime si niekoľko užitočných rovností:

Príklad 10

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie Označme Potom Zoberme si funkciu Táto funkcia má v bode minimum z = π/4 a rovná sa Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne v bode z = -π/2 a rovná sa Takto a

Príklad 11

Poďme vyriešiť rovnicu

Zoberme si to do úvahy Potom rovnica vyzerá takto:alebo kde Definíciou arctangensu dostaneme:

2. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc

Podobne ako v príklade 1 môžete získať riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc.

Príklad 12

Poďme vyriešiť rovnicu

Keďže funkcia sínus je nepárna, rovnicu zapíšeme v tvareRiešenia tejto rovnice:odkiaľ to nájdeme?

Príklad 13

Poďme vyriešiť rovnicu

Pomocou uvedeného vzorca zapíšeme riešenia rovnice:a nájdeme

Všimnite si, že v špeciálnych prípadoch (a = 0; ±1) pri riešení rovníc sin x = a a cos x = a je jednoduchšie a pohodlnejšie používať nie všeobecné vzorce, ale zapisovať riešenia založené na jednotkovej kružnici:

pre rovnicu sin x = 1 riešenie

pre rovnicu sin x = 0 riešenia x = π k;

pre rovnicu sin x = -1 riešenie

pre rovnicu cos x = 1 riešenie x = 2π k;

pre rovnicu cos x = 0 riešení

pre rovnicu cos x = -1 riešenie

Príklad 14

Poďme vyriešiť rovnicu

Keďže v tomto príklade existuje špeciálny prípad rovnice, napíšeme riešenie pomocou príslušného vzorca:odkiaľ to môžeme nájsť?

III. Kontrolné otázky (frontálny prieskum)

1. Definujte a uveďte hlavné vlastnosti inverzných goniometrických funkcií.

2. Uveďte grafy inverzných goniometrických funkcií.

3. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

IV. Zadanie lekcie

§ 15, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, č. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).

V. Domáca úloha

§ 15, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, č. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).

VI. Kreatívne úlohy

1. Nájdite doménu funkcie:

Odpovede:

2. Nájdite rozsah funkcie:

Odpovede:

3. Graf funkcie:

VII. Zhrnutie lekcií

Inverzné goniometrické funkcie sú široko používané v matematickej analýze. Väčšine stredoškolákov však úlohy spojené s týmto typom funkcií spôsobujú značné ťažkosti. Je to spôsobené najmä tým, že veľa učebníc a učebných pomôcok venuje príliš málo pozornosti úlohám tohto typu. A ak sa študenti aspoň nejako vyrovnajú s problémami výpočtu hodnôt inverzných goniometrických funkcií, potom rovnice a nerovnosti obsahujúce takéto funkcie z väčšej časti deti zmiatnu. V skutočnosti to nie je prekvapujúce, pretože prakticky žiadna učebnica nevysvetľuje spôsob riešenia aj tých najjednoduchších rovníc a nerovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie.

Pozrime sa na niekoľko rovníc a nerovníc zahŕňajúcich inverzné goniometrické funkcie a vyriešme ich s podrobným vysvetlením.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Riešenie.

Vyjadrením inverznej goniometrickej funkcie z rovnice dostaneme:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Teraz použijeme definíciu oblúkového kosínusu.

Oblúkový kosínus určitého čísla a, ktorý patrí do segmentu od -1 do 1, je uhol y od segmentu od 0 do π taký, že jeho kosínus sa rovná číslu x. Preto to môžeme napísať takto:

2x + 3 = cos 5π/6.

Napíšme pravú stranu výslednej rovnice pomocou redukčného vzorca:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Zredukujme pravú stranu na spoločného menovateľa.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

odpoveď: -(6 + √3) / 4 .

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Riešenie.

Pretože cos (arcсos x) = x s x patriacim do [-1; 1], potom je táto rovnica ekvivalentná systému:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Poďme vyriešiť rovnicu zahrnutú v systéme.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Je štvorcový, takže to chápeme

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Vyriešme dvojitú nerovnosť zahrnutú v systéme.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Pridajte 9 ku všetkým častiam, máme:

8 ≤ 4x ≤ 10. Vydeľte každé číslo 4, dostaneme:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Teraz spojme odpovede, ktoré sme dostali. Je ľahké vidieť, že koreň x = 7 nevyhovuje odpovedi na nerovnosť. Preto je jediným riešením rovnice x = 2.

odpoveď: 2.

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Riešenie.

Pretože tg (arctg x) = x pre všetky reálne čísla, táto rovnica je ekvivalentná rovnici:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Vyriešme výslednú kvadratickú rovnicu pomocou diskriminantu a najprv ju prenesme do štandardného tvaru.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Odpoveď: 1; 2.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Riešenie.

Keďže arcctg f(x) = arcctg g(x) práve vtedy, ak f(x) = g(x), potom

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Vyriešme výslednú kvadratickú rovnicu:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3 x + 2 = 0.

Vietovou vetou to získame

x = 1 alebo x = 2.

Odpoveď: 1; 2.

Príklad 5.

Vyriešte rovnicu: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Riešenie.

Pretože rovnica v tvare arcsin f(x) = arcsin g(x) je ekvivalentná systému

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

potom je pôvodná rovnica ekvivalentná systému:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Vyriešime výsledný systém:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Z prvej rovnice pomocou Vietovej vety máme, že x = 1 alebo x = 7. Vyriešením druhej nerovnice sústavy zistíme, že 7 ≤ x ≤ 8. Preto je pre konečnú hodnotu vhodný iba koreň x = 7 odpoveď.

odpoveď: 7.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Riešenie.

Nech arccos x = t, potom t patrí segmentu a rovnica má tvar:

t 2 – 6t + 8 = 0. Vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu pomocou Vietovej vety, zistíme, že t = 2 alebo t = 4.

Keďže t = 4 nepatrí do segmentu, dostaneme, že t = 2, t.j. arccos x = 2, čo znamená x = cos 2.

Odpoveď: pretože 2.

Príklad 7.

Vyriešte rovnicu: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Riešenie.

Použime rovnosť arcsin x + arccos x = π/2 a rovnicu napíšme v tvare

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Nech arcsin x = t, potom t patrí do segmentu [-π/2; π/2] a rovnica má tvar:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Vyriešme výslednú rovnicu:

t2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Vynásobením každého člena číslom 9 sa zbavíme zlomkov v rovnici, dostaneme:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Poďme nájsť diskriminant a vyriešiť výslednú rovnicu:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 alebo t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 alebo t = 12π/36.

Po redukcii máme:

t = π/6 alebo t = π/3. Potom

arcsin x = π/6 alebo arcsin x = π/3.

Teda x = sin π/6 alebo x = sin π/3. To znamená, že x = 1/2 alebo x =√3/2.

Odpoveď: 1/2; √3/2.

Príklad 8.

Nájdite hodnotu výrazu 5nx 0, kde n je počet koreňov a x 0 je záporný koreň rovnice 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

Riešenie.

Pretože -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, potom -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Navyše, (x + 1) 2 ≥ 0 pre všetky reálne x,
potom -(x + 1) 2 ≤ 0 a -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Rovnica teda môže mať riešenie, ak sú obe jej strany súčasne rovné –π, t.j. rovnica je ekvivalentná systému:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Vyriešme výslednú sústavu rovníc:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Z druhej rovnice máme, že x = -1, respektíve n = 1, potom 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Odpoveď: -5.

Ako ukazuje prax, schopnosť riešiť rovnice s inverznými goniometrickými funkciami je nevyhnutnou podmienkou úspešného absolvovania skúšok. Preto je školenie o riešení takýchto problémov jednoducho nevyhnutné a povinné pri príprave na jednotnú štátnu skúšku.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.