Rozmer podobnosti: niektoré jemnosti. Ten istý objekt môže mať veľa modelov a rôzne objekty môžu byť opísané jedným modelom

Stručný súhrn

P.S. Veľmi „suchý jazyk“, ale po vysokoškolskom štúdiu celkom čitateľný. Z väčšej časti boli definície paradoxov prevzaté z Wikipédie (zjednodušená formulácia a hotové značky TeX).

Úvod

Mali by sme začať s definíciou.

čo je súprava? Otázka je celkom jednoduchá, odpoveď je celkom intuitívna. Množina je určitá množina prvkov reprezentovaných jedným objektom. Kantor vo svojom diele Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre dáva definíciu: pod „množinou“ rozumieme spojenie do určitého celku určitých jasne rozlíšiteľných predmetov našej kontemplácie alebo nášho myslenia (ktoré sa budú nazývať „prvky“ súboru). Ako vidíme, podstata sa nezmenila, rozdiel je len v tej časti, ktorá závisí od svetonázoru determinanta. História teórie množín, ako v logike, tak aj v matematike, je veľmi rozporuplná. V skutočnosti to začal Cantor v 19. storočí, potom Russell a ďalší pokračovali v práci.

Paradoxy (logiky a teórie množín) - (zo starogréčtiny παράδοξος - neočakávané, zvláštne zo starogréčtiny παρα-δοκέω - zdá sa) - formálne logické rozpory, ktoré vznikajú v zmysluplnej teórii množín a formálnej logike pri zachovaní logickej správnosti uvažovania. Paradoxy vznikajú, keď sa dva vzájomne sa vylučujúce (protichodné) tvrdenia ukážu ako rovnako dokázateľné. Paradoxy sa môžu objaviť vo vedeckej teórii aj v bežnom uvažovaní (napríklad Russellova parafráza jeho paradoxu o množine všetkých normálnych množín: „Dedinský holič oholí všetkých a len tých obyvateľov svojej dediny, ktorí sa neholia sami. Mal by on sa oholil? seba?"). Keďže formálny logický rozpor ničí uvažovanie ako prostriedok na objavovanie a dokazovanie pravdy (v teórii, v ktorej sa objavuje paradox, je dokázateľná každá veta, pravdivá aj nepravdivá), vyvstáva úloha identifikovať zdroje takýchto rozporov a nájsť spôsoby na ich odstránenie. Problém filozofického chápania konkrétnych riešení paradoxov je jedným z dôležitých metodologických problémov formálnej logiky a logických základov matematiky.

Účelom tejto práce je študovať paradoxy teórie množín ako dedičov starovekých antinómií a úplne logické dôsledky prechodu na novú úroveň abstrakcie – nekonečno. Úlohou je zvážiť hlavné paradoxy a ich filozofickú interpretáciu.

Základné paradoxy teórie množín

Holič holí len tých ľudí, ktorí sa neholia sami. Holí sa sám?

Niektoré z logických paradoxov boli známe už od staroveku, ale vzhľadom na skutočnosť, že matematická teória bola obmedzená na aritmetiku a geometriu, nebolo možné korelovať ich s teóriou množín. V 19. storočí sa situácia radikálne zmenila: Cantor dosiahol vo svojich dielach novú úroveň abstrakcie. Zaviedol pojem nekonečna, čím vytvoril nové odvetvie matematiky a umožnil tak porovnávanie rôznych nekonečností pomocou pojmu „moc množiny“. Pritom to však vyvolalo mnohé paradoxy. Úplne prvým je tzv Buraliho-Fortiho paradox. V matematickej literatúre existujú rôzne formulácie založené na odlišnej terminológii a predpokladanom súbore známych teorémov. Tu je jedna z formálnych definícií.

Dá sa dokázať, že ak je ľubovoľná množina radových čísel, potom súčet je radové číslo väčšie alebo rovné každému z prvkov. Predpokladajme teraz, že ide o množinu všetkých radových čísel. Potom je poradové číslo väčšie alebo rovné ktorémukoľvek z čísel v . Ale potom a je radové číslo a je už striktne väčšie, a preto sa nerovná žiadnemu z čísel v . Ale to je v rozpore s podmienkou, podľa ktorej - množina všetkých radových čísel.

Podstata paradoxu spočíva v tom, že vytvorením množiny všetkých radových číslovok vzniká nový radový typ, ktorý ešte nebol medzi „všetkými“ transfinitnými radovými číslovkami, ktoré existovali pred vytvorením množiny všetkých radových čísel. Tento paradox objavil sám Cantor, nezávisle ho objavil a publikoval taliansky matematik Burali-Forti, jeho chyby opravil Russell, po čom formulácia nadobudla svoju konečnú podobu.

Spomedzi všetkých pokusov vyhnúť sa takýmto paradoxom a do určitej miery sa ich pokúsiť vysvetliť si najväčšiu pozornosť zaslúži myšlienka už spomínaného Russella. Navrhol vylúčiť z matematiky a logiky impredikatívne vety, v ktorých definícia prvku množiny závisí od toho druhého, čo spôsobuje paradoxy. Pravidlo znie takto: „Žiadna množina nemôže obsahovať prvky definované iba ako množinu, ako aj prvky, ktoré túto množinu vo svojej definícii predpokladajú.“ Takéto obmedzenie definície množiny nám umožňuje vyhnúť sa paradoxom, no zároveň výrazne zužuje rozsah jej aplikácie v matematike. Navyše to nestačí na vysvetlenie ich povahy a dôvodov ich vzhľadu, zakorenených v dichotómii myslenia a jazyka, v črtách formálnej logiky. Do určitej miery možno toto obmedzenie vysledovať k analógii s tým, čo neskôr kognitívni psychológovia a lingvisti začali nazývať „kategorizáciou základnej úrovne“: definícia je zredukovaná na najjednoduchší koncept na pochopenie a štúdium.

Cantorov paradox. Predpokladajme, že množina všetkých množín existuje. V tomto prípade platí, že každá množina je podmnožinou. Ale z toho vyplýva, že sila žiadnej množiny nepresahuje silu . Ale na základe axiómy množiny všetkých podmnožín, pretože, ako každá množina, existuje množina všetkých podmnožín a podľa Cantorovej vety, ktorá je v rozpore s predchádzajúcim tvrdením. Preto nemôže existovať, čo je v rozpore s „naivnou“ hypotézou, že akákoľvek syntakticky správna logická podmienka definuje množinu, teda takú, ktorá pre akýkoľvek vzorec neobsahuje voľne. Pozoruhodný dôkaz absencie takýchto rozporov založených na axiomatizovanej Zermelo-Fraenkelovej teórii množín podáva Potter.

Obidva vyššie uvedené paradoxy sú z logického hľadiska totožné s „Klamárom“ či „Holičom“: vyslovený úsudok je adresovaný nielen niečomu objektívnemu vo vzťahu k nemu, ale aj k sebe samému. Pozor si však treba dať nielen na logickú stránku, ale aj na koncept nekonečna, ktorý je tu prítomný. Literatúra sa odvoláva na dielo Poincarého, v ktorom píše: „viera v existenciu skutočného nekonečna... robí tieto nepredikatívne definície nevyhnutnými.“

Vo všeobecnosti sú hlavné body:

1. v týchto paradoxoch sa porušuje pravidlo jasného oddelenia „sfér“ predikátu a subjektu; miera zámeny je blízka nahradeniu jedného pojmu druhým;
2. Zvyčajne sa v logike predpokladá, že v procese uvažovania si subjekt a predikát zachovávajú svoj rozsah a obsah, ale v tomto prípade dochádza k prechodu z jednej kategórie do druhej, čo má za následok nejednotnosť;
3. prítomnosť slova „všetky“ dáva zmysel pre konečný počet prvkov, ale v prípade nekonečného počtu prvkov je možné mať taký, ktorý si vyžaduje definíciu množiny, aby sa definoval;
4. sú porušené základné logické zákony:
   1. zákon identity je porušený, keď je odhalená neidentita subjektu a predikátu;
   2. zákon protirečenia - keď sú dva protichodné úsudky odvodené s rovnakým právom;
   3. zákon vylúčenej tretiny - keď táto tretina musí byť uznaná a nie vylúčená, pretože ani prvá ani druhá nemôže byť uznaná bez druhej, pretože ukazujú sa ako rovnako legitímne.

Paradox Tristrama Shandyho. V Sternovom knihe Život a názory Tristrama Shandyho, Gentleman hrdina zisťuje, že mu trvalo celý rok, kým porozprával udalosti prvého dňa svojho života, a ďalší rok, kým opísal druhý deň. V tejto súvislosti sa hrdina sťažuje, že materiál jeho životopisu sa bude hromadiť rýchlejšie, ako ho dokáže spracovať, a nikdy ho nebude môcť dokončiť. „Teraz tvrdím,“ namieta Russell, „že keby žil večne a jeho práca by sa mu nestala bremenom, aj keby bol jeho život naďalej taký rušný ako na začiatku, potom žiadna z častí jeho životopis by nezostal nenapísaný."

Shandy skutočne mohol opísať udalosti tretieho dňa v roku, a teda každý deň by bol zachytený v jeho autobiografii. Inými slovami, ak by život trval večne, mal by toľko rokov ako dní.

Russell kreslí analógiu medzi týmto románom a Zeno a jeho korytnačkou. Podľa jeho názoru riešenie spočíva v tom, že celok je ekvivalentný svojej časti v nekonečne. Tie. Iba „axióma zdravého rozumu“ vedie k rozporu. Riešenie problému však leží v oblasti čistej matematiky. Je zrejmé, že existujú dve množiny - roky a dni, medzi ktorých prvkami je stanovená korešpondencia jedna k jednej - bijekcia. Potom, vzhľadom na nekonečný život hlavnej postavy, existujú dve nekonečné množiny rovnakej sily, čo, ak moc považujeme za zovšeobecnenie pojmu počet prvkov v množine, rieši paradox.

Banachov-Tarského paradox (teorém) alebo paradox zdvojnásobenia lopty- teorém v teórii množín, ktorý hovorí, že trojrozmerná guľa je ekvivalentná dvom jej kópiám.

Dve podmnožiny euklidovského priestoru sa nazývajú rovnako zložené, ak je možné jednu rozdeliť na konečný počet častí, presunúť ich a druhú z nich poskladať. Presnejšie povedané, dve množiny a sú ekvikomponované, ak môžu byť reprezentované ako konečné spojenie disjunktných podmnožín a také, že pre každú je podmnožina zhodná.

Ak použijeme výberovú vetu, definícia znie takto:

Axióma výberu znamená, že povrch jednotkovej gule je rozdelený na konečný počet častí, ktoré možno transformáciou trojrozmerného euklidovského priestoru, ktorý nemení tvar týchto komponentov, poskladať do dvoch gúľ. polomeru jednotky.

Je zrejmé, že vzhľadom na požiadavku, aby tieto časti boli merateľné, toto tvrdenie nie je možné. Slávny fyzik Richard Feynman vo svojej biografii povedal, ako sa mu raz podarilo vyhrať spor o rozbití pomaranča na konečný počet častí a jeho opätovnom zložení.

V určitých bodoch sa tento paradox používa na vyvrátenie axiómy výberu, ale problémom je, že to, čo považujeme za elementárnu geometriu, nie je dôležité. Tie pojmy, ktoré považujeme za intuitívne, musíme rozšíriť na úroveň vlastností transcendentálnych funkcií.

Na ďalšie oslabenie dôvery tých, ktorí považujú axiómu voľby za nesprávnu, stojí za zmienku veta Mazurkiewicza a Sierpinského, ktorá hovorí, že existuje neprázdna podmnožina euklidovskej roviny, ktorá má dve disjunktné podmnožiny, každú ktoré možno rozdeliť na konečný počet častí, takže ich možno pomocou izometrií preložiť do množiny pokrytia. V tomto prípade dôkaz nevyžaduje použitie axiómy výberu. Ďalšie konštrukcie založené na axióme istoty poskytujú riešenie Banachovho-Tarského paradoxu, ale nie sú také zaujímavé.

1. Richardov paradox: požiadavka je pomenovať „najmenšie číslo, ktoré nie je uvedené v tejto knihe“. Rozpor je v tom, že na jednej strane sa to dá urobiť, keďže v tejto knihe je uvedený najmenší počet. Na základe neho môžeme menovať najmenších nemenovaných. Tu však nastáva problém: kontinuum je nespočítateľné, medzi ľubovoľné dve čísla môžete vložiť nekonečné množstvo medzičísel. Na druhej strane, ak by sme toto číslo vedeli pomenovať, automaticky by sa presunulo z triedy tých, ktorí nie sú v knihe spomenutí, do triedy spomínaných.
2. Grelling-Nielsonov paradox: slová alebo znaky môžu označovať akúkoľvek vlastnosť a zároveň ju mať alebo nie. Najtriviálnejšia formulácia znie takto: je slovo „heterologické“ (čo znamená „neaplikovateľné na seba“) heterologické?... Veľmi podobné Russellovmu paradoxu kvôli prítomnosti dialektického rozporu: dualita formy a obsahu je porušené. V prípade slov, ktoré majú vysokú úroveň abstrakcie, nie je možné rozhodnúť, či sú tieto slová heterológne.
3. Skolemov paradox: pomocou Gödelovej vety o úplnosti a Löwenheimovej-Skolemovej vety zistíme, že axiomatická teória množín zostáva pravdivá, aj keď sa na jej interpretáciu predpokladá (dostupná) iba spočítateľná zbierka množín. Axiomatická teória zároveň zahŕňa už spomínanú Cantorovu vetu, ktorá nás privádza k nespočetným nekonečným množinám.

Riešenie paradoxov

Logizmus bol pokusom zredukovať všetku známu matematiku na pojmy aritmetiky a potom zredukovať aritmetické pojmy na pojmy matematickej logiky. Frege sa tým podrobne zaoberal, ale po dokončení práce na práci bol nútený poukázať na svoju nekonzistentnosť po tom, čo Russell poukázal na rozpory v teórii. Ten istý Russell, ako už bolo spomenuté, sa pokúsil eliminovať používanie neprediktívnych definícií pomocou „teórie typov“. Jeho koncepty množiny a nekonečna, ako aj axióma redukovateľnosti sa však ukázali ako nelogické. Hlavným problémom bolo, že sa nebrali do úvahy kvalitatívne rozdiely medzi formálnou a matematickou logikou, ako aj prítomnosť nepotrebných pojmov, vrátane pojmov intuitívneho charakteru.
V dôsledku toho teória logicizmu nedokázala odstrániť dialektické rozpory paradoxov spojených s nekonečnosťou. Existovali len princípy a metódy, ktoré umožňovali zbaviť sa aspoň nepredikatívnych definícií. Podľa jeho vlastného myslenia bol Russell Cantorovým dedičom

Koncom 19. - začiatkom 20. stor. Rozšírenie formalistického pohľadu na matematiku súviselo s rozvojom axiomatickej metódy a programu na zdôvodňovanie matematiky, ktorý predložil D. Hilbert. O dôležitosti tohto faktu svedčí fakt, že prvým problémom z dvadsiatich troch, ktorý položil matematickej komunite, bol problém nekonečna. Formalizácia bola nevyhnutná, aby sa dokázala konzistentnosť klasickej matematiky, „pričom sa z nej vylúčila všetka metafyzika“. Vzhľadom na prostriedky a metódy, ktoré Hilbert použil, sa jeho cieľ ukázal ako v podstate nemožný, ale jeho program mal obrovský vplyv na celý ďalší vývoj základov matematiky. Hilbert pracoval na tomto probléme pomerne dlho, spočiatku skonštruoval axiomatiku geometrie. Keďže riešenie problému bolo celkom úspešné, rozhodol sa aplikovať axiomatickú metódu na teóriu prirodzených čísel. Tu je to, čo v tejto súvislosti napísal: „Sledujem dôležitý cieľ: som to ja, kto by sa chcel zbaviť otázok opodstatnenosti matematiky ako takej a premeniť každé matematické tvrdenie na prísne odvoditeľný vzorec.“ Plánovalo sa zbaviť nekonečna jeho zmenšením na určitý konečný počet operácií. Aby to urobil, obrátil sa na fyziku s jej atomizmom, aby ukázal nekonzistentnosť nekonečných veličín. V skutočnosti Hilbert nastolil otázku vzťahu medzi teóriou a objektívnou realitou.

Viac-menej úplnú predstavu o konečných metódach podáva Hilbertov študent J. Herbran. Konečným uvažovaním rozumie uvažovanie, ktoré spĺňa tieto podmienky: logické paradoxy

Vždy sa berie do úvahy len konečný a určitý počet objektov a funkcií;

Funkcie majú presnú definíciu a táto definícia nám umožňuje vypočítať ich hodnotu;

Človek nikdy netvrdí: „Tento objekt existuje“, pokiaľ nevie, ako ho skonštruovať;

Množina všetkých objektov X akejkoľvek nekonečnej zbierky sa nikdy nezohľadňuje;

Ak je známe, že niektoré zdôvodnenie alebo teorém platí pre všetky tieto X, potom to znamená, že toto všeobecné zdôvodnenie možno zopakovať pre každé konkrétne X a toto všeobecné zdôvodnenie samotné by sa malo považovať len za vzorku na uskutočnenie takéhoto špecifického zdôvodnenia.

Čo konkrétne Gödel dokázal? Možno identifikovať tri hlavné výsledky:

1. Gödel ukázal nemožnosť matematického dôkazu konzistencie akéhokoľvek systému, ktorý by bol dostatočne veľký na to, aby zahŕňal celú aritmetiku, dôkaz, ktorý by nepoužíval žiadne iné pravidlá inferencie ako pravidlá daného systému samotného. Takýto dôkaz, ktorý využíva silnejšie pravidlo vyvodzovania, môže byť užitočný. Ale ak sú tieto pravidlá inferencie silnejšie ako logické prostriedky aritmetického počtu, potom nebude existovať žiadna dôvera v konzistentnosť predpokladov použitých v dôkaze. V každom prípade, ak použité metódy nie sú konečné, potom sa Hilbertov program ukáže ako nerealizovateľný. Gödel presne ukazuje nekonzistentnosť výpočtov, aby našiel konečný dôkaz konzistentnosti aritmetiky.

2. Gödel poukázal na základné obmedzenia možností axiomatickej metódy: systém Principia Mathematica, ako každý iný systém, pomocou ktorého je aritmetika konštruovaná, je v podstate neúplný, t. j. pre každý konzistentný systém aritmetických axióm existuje skutočná aritmetika. vety, ktoré nie sú odvodené z axióm tohto systému.

3. Gödelova veta ukazuje, že žiadna expanzia aritmetického systému ho nemôže urobiť úplným, a aj keď ho naplníme nekonečným počtom axióm, potom v novom systéme budú vždy existovať skutočné pozície, ktoré sa nedajú odvodiť pomocou tohto systému. Axiomatický prístup k aritmetike prirodzených čísel nie je schopný pokryť celú oblasť skutočných aritmetických úsudkov a to, čo chápeme pod procesom matematického dokazovania, sa neobmedzuje na použitie axiomatickej metódy. Po Gödelovej vete sa stalo zbytočným očakávať, že koncept presvedčivého matematického dôkazu bude možné dať raz a navždy.

Vo svojej evolúcii prešiel niekoľkými štádiami – polointuicionizmus, skutočný intuicionizmus, ultraintuicionizmus. V rôznych fázach sa matematici zaoberali rôznymi problémami, ale jedným z hlavných problémov matematiky je problém nekonečna. Matematické pojmy nekonečna a kontinuity slúžili ako predmet filozofickej analýzy od svojho vzniku (idey atomistov, apória Zena z Eley, nekonečne malé metódy v staroveku, nekonečne malý počet v modernej dobe atď.). Najväčšiu kontroverziu vyvolalo používanie rôznych typov nekonečna (potenciálneho, aktuálneho) ako matematických objektov a ich interpretácia. Všetky tieto problémy podľa nášho názoru vygeneroval hlbší problém – úloha subjektu vo vedeckom poznaní. Faktom je, že krízový stav v matematike je generovaný epistemologickou neistotou úmernosti medzi svetom objektu (nekonečno) a svetom subjektu. Matematik ako subjekt má možnosť zvoliť si spôsob poznania – buď potenciálne, alebo skutočné nekonečno. Využitie potenciálneho nekonečna ako stávania sa mu dáva možnosť realizovať, skonštruovať nekonečné množstvo konštrukcií, ktoré možno postaviť na konečných, bez posledného kroku, bez dokončenia konštrukcie, je to len možné. Využitie aktuálneho nekonečna mu dáva možnosť pracovať s nekonečnom ako s už realizovateľným, úplným vo svojej konštrukcii, ako skutočne daným zároveň.

V štádiu semi-intuicionizmu nebol problém nekonečna ešte samostatný, ale prelínal sa s problémom konštrukcie matematických objektov a metód na jeho zdôvodnenie. Polointuicionizmus A. Poincarého a predstaviteľov parížskej školy teórie funkcií Baera, Lebesguea a Borela bol namierený proti akceptovaniu axiómy slobodnej voľby, pomocou ktorej sa dokazuje Zermelova veta, ktorá uviedol, že akýkoľvek súbor môže byť vyrobený úplne usporiadaný, ale bez uvedenia teoretickej metódy na určenie prvkov akejkoľvek podmnožiny požadovaných množín. Neexistuje spôsob, ako skonštruovať matematický objekt a neexistuje žiadny matematický objekt samotný. Matematici verili, že prítomnosť alebo absencia teoretickej metódy na zostavenie postupnosti výskumných objektov by mohla slúžiť ako základ na ospravedlnenie alebo vyvrátenie tejto axiómy. V ruskej verzii bol semi-intuicionistický koncept vo filozofických základoch matematiky vyvinutý takým smerom, ako je efektivita, vyvinutý N. N. Luzin. Efektivita je opozíciou k hlavným abstrakciám Cantorovej doktríny o nekonečnej množine – aktuálnosť, voľba, transfinitná indukcia atď.

Pre efektivitu sú epistemologicky hodnotnejšie abstrakcie abstrakciou potenciálnej uskutočniteľnosti ako abstrakcia skutočného nekonečna. Vďaka tomu je možné zaviesť koncept transfinitných radových čísel (nekonečných radových čísel) založený na efektívnom koncepte rastu funkcií. Epistemologická inštalácia efektivity na zobrazenie spojitého (kontinua) bola založená na diskrétnych prostriedkoch (aritmetika) a deskriptívnej teórii množín (funkcií) vytvorenej N. N. Luzinom. Intuicionizmus Holanďana L.E.Ya Brouwera, G. Weila, A. Heytinga vníma voľne sa rozvíjajúce sekvencie rôznych typov ako tradičný predmet štúdia. V tomto štádiu riešenia vlastných matematických problémov, vrátane reštrukturalizácie celej matematiky na nový základ, intuicionisti nastolili filozofickú otázku o úlohe matematika ako poznávajúceho subjektu. Aké je jeho postavenie, keď je slobodnejší a aktívnejší pri výbere prostriedkov poznania? Intuicionisti boli prví (a vo fáze semi-intuicionizmu), ktorí kritizovali koncept skutočného nekonečna, Cantorovu teóriu množín, vidiac v ňom zásah do schopnosti subjektu ovplyvňovať proces vedeckého hľadania riešenia konštruktívneho problému. . V prípade použitia potenciálneho nekonečna subjekt neklame sám seba, pretože pre neho je myšlienka potenciálneho nekonečna intuitívne oveľa jasnejšia ako myšlienka skutočného nekonečna. Pre intuicionistu sa objekt považuje za existujúci, ak je daný priamo matematikovi alebo je známy spôsob jeho konštrukcie či konštrukcie. V každom prípade môže subjekt začať proces dokončovania niekoľkých prvkov svojho súboru. Nepostavený objekt pre intuicionistov neexistuje. Subjekt pracujúci so skutočným nekonečnom bude zároveň zbavený tejto príležitosti a pocíti dvojitú zraniteľnosť prijatej pozície:

1) táto nekonečná konštrukcia nemôže byť nikdy realizovaná;

2) rozhodne sa operovať so skutočným nekonečnom ako s konečným objektom a v tomto prípade stráca svoju špecifickosť pojmu nekonečno. Intuicionizmus zámerne obmedzuje schopnosti matematika tým, že môže konštruovať matematické objekty výlučne prostriedkami, ktoré sú síce získané pomocou abstraktných pojmov, ale sú účinné, presvedčivé, dokázateľné, funkčne konštruktívne a prakticky a samy osebe sú intuitívne jasné ako konštrukcie. , konštrukcie, o spoľahlivosti ktorých v praxi niet pochýb. Intuicionizmus, založený na koncepte potenciálneho nekonečna a konštruktívnych výskumných metódach, sa zaoberá matematikou stávania sa, teória množín odkazuje na matematiku bytia.

Vo svojich trochu mystických dielach nepopiera prítomnosť nekonečna, ale nepripúšťa jeho aktualizáciu, iba potencializáciu. Hlavná je pre neho interpretácia a zdôvodnenie prakticky používaných logických prostriedkov a matematické uvažovanie. Obmedzenie prijaté intuicionistami prekonáva neistotu používania konceptu nekonečna v matematike a vyjadruje túžbu prekonať krízu v základoch matematiky.

Ultraintuicionizmus (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov a i.) je posledným stupňom vývoja intuicionizmu, v ktorom sa jeho hlavné myšlienky modernizujú, výrazne dopĺňajú a transformujú bez toho, aby sa menila jeho podstata, ale prekonávali nedostatky a posilňovali sa pozitívne stránky, vedené matematická prísnosť kritérií. Slabinou prístupu intuicionistov bolo ich úzke chápanie úlohy intuície ako jediného zdroja zdôvodnenia správnosti a účinnosti matematických metód. Berúc „intuitívnu jasnosť“ ako kritérium pravdivosti v matematike, intuicionisti metodologicky ochudobnili schopnosti matematika ako subjektu poznania, zredukovali jeho činnosť len na mentálne operácie založené na intuícii a do procesu matematického poznania nezahrnuli prax. Ultra-intuicionistický program pre základy matematiky je ruskou prioritou. Preto domáci matematici, prekonávajúc obmedzenia intuicionizmu, prijali efektívnu metodológiu materialistickej dialektiky, ktorá uznáva ľudskú prax ako zdroj formovania matematických pojmov aj matematických metód (inferencie, konštrukcie). Ultra-intuicionisti vyriešili problém existencie matematických objektov, pričom sa už nespoliehali na nedefinovateľný subjektívny pojem intuície, ale na matematickú prax a špecifický mechanizmus konštrukcie matematického objektu - algoritmus vyjadrený vypočítateľnou, rekurzívnou funkciou.

Ultraintuicionizmus zvyšuje výhody intuicionizmu, ktoré spočívajú v možnosti usporiadania a zovšeobecnenia metód riešenia konštruktívnych problémov používaných matematikmi akéhokoľvek smeru. Preto je intuicionizmus posledného štádia (ultra-intuicionizmus) blízky konštruktivizmu v matematike. Z epistemologického hľadiska sú hlavné myšlienky a princípy ultra-intuicionizmu nasledovné: kritika klasickej axiomatiky logiky; využitie a výrazné posilnenie (na výslovný pokyn A.A. Markova) úlohy abstrakcie identifikácie (mentálnej abstrakcie od odlišných vlastností predmetov a súčasnej identifikácie spoločných vlastností predmetov) ako spôsobu konštrukcie a konštruktívneho chápania abstraktných pojmov. a matematické úsudky; dôkaz konzistentnosti konzistentných teórií. Po formálnej stránke je použitie identifikačnej abstrakcie odôvodnené jej tromi vlastnosťami (axiómami) rovnosti – reflexívnosťou, tranzitivitou a symetriou.

Vyriešiť hlavný rozpor v matematike týkajúci sa problému nekonečna, ktorý viedol ku kríze jeho základov, v štádiu ultra-intuicionizmu v dielach A.N. Kolmogorov navrhol východiská z krízy riešením problému vzťahu medzi klasickou a intuicionistickou logikou, klasickou a intuicionistickou matematikou. Brouwerov intuicionizmus vo všeobecnosti popieral logiku, ale keďže sa bez logiky žiaden matematik nezaobíde, v intuicionizme sa ešte zachovala prax logického uvažovania, povolené boli niektoré princípy klasickej logiky, ktorej základom bola axiomatika. S.K. Kleene a R. Wesley dokonca poznamenávajú, že intuicionistickú matematiku možno opísať vo forme nejakého kalkulu a kalkul je spôsob organizácie matematických poznatkov na základe logiky, formalizácie a jej formy – algoritmizácie. Nová verzia vzťahu medzi logikou a matematikou v rámci intuicionistických požiadaviek na intuitívnu jasnosť úsudkov, najmä tých, ktoré obsahovali negáciu, A.N. Kolmogorov navrhol takto: predstavil intuicionistickú logiku, úzko súvisiacu s intuicionistickou matematikou, vo forme axiomatického implikatívneho minimálneho počtu výrokov a predikátov. Vedec tak predstavil nový model matematického poznania, prekonávajúci obmedzenia intuicionizmu v uznávaní iba intuície ako prostriedku poznania a obmedzenia logicizmu, ktorý absolutizuje možnosti logiky v matematike. Táto pozícia umožnila demonštrovať v matematickej forme syntézu intuitívneho a logického ako základ flexibilnej racionality a jej konštruktívnej účinnosti.

Dôležitým bodom je aj intuícia v poznávaní a najmä pri formovaní matematických pojmov. Opäť je tu boj s filozofiou, pokusy o vylúčenie zákona vylúčeného stredu, ktorý nemá v matematike zmysel a prichádza doň z filozofie. Prítomnosť nadmerného dôrazu na intuíciu a nedostatok jasných matematických odôvodnení však neumožnili preniesť matematiku na pevný základ.

Po vzniku striktnej koncepcie algoritmu v 30. rokoch však štafetu prevzal matematický konštruktivizmus od intuicionizmu, ktorého predstavitelia významne prispeli k modernej teórii vypočítateľnosti. Okrem toho boli v 70. a 80. rokoch objavené významné súvislosti medzi niektorými myšlienkami intuicionistov (aj tými, ktoré sa predtým zdali absurdné) a matematickou teóriou topoi. Matematika nájdená v niektorých topoi je veľmi podobná tomu, čo sa snažili vytvoriť intuicionisti.

V dôsledku toho môžeme vysloviť konštatovanie: väčšina vyššie uvedených paradoxov v teórii množín s vlastným vlastníctvom jednoducho neexistuje. Či je takýto prístup definitívny, je kontroverzná otázka, ukáže až ďalšia práca v tejto oblasti.

Záver

Či už skončila tretia kríza matematiky (pretože bola vo vzťahu príčina-následok s paradoxmi; teraz sú paradoxy neoddeliteľnou súčasťou) - tu sa názory líšia, hoci formálne známe paradoxy boli do roku 1907 odstránené. Teraz však v matematike existujú ďalšie okolnosti, ktoré možno považovať buď za krízu, alebo za predzvesť krízy (napríklad chýbajúce presné odôvodnenie integrálu cesty).

Čo sa týka paradoxov, veľmi dôležitú úlohu v matematike zohral známy paradox klamára, ako aj celý rad paradoxov v takzvanej naivnej (predchádzajúcej axiomatickej) teórii množín, ktoré spôsobili krízu základov (jedného z tieto paradoxy zohrali v živote G. Fregeho osudovú úlohu) . Ale možno jedným z najviac podceňovaných javov v modernej matematike, ktorý možno nazvať paradoxným aj kritickým, je riešenie prvého Hilbertovho problému v roku 1963 od Paula Cohena. Presnejšie, nie fakt samotného rozhodnutia, ale povahu tohto rozhodnutia.

Literatúra

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512,1895.
2. I.N. Burova. Paradoxy teórie množín a dialektiky. Veda, 1976.
3. M.D. Potter. Teória množín a jej filozofia: kritický úvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Žukov N.I. Filozofické základy matematiky. Mn.: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. To si, samozrejme, robíte srandu, pán Feynman!: Dobrodružstvá úžasného muža, ktoré rozprával R. Laytonovi. Kolibri, 2008.
6. O. M. Miževič. Dva spôsoby, ako prekonať paradoxy v teórii množín G. Cantora. Logic and Philosophical Studies, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalová. FILOZOFIA INTUICIIONISTICKEJ MATEMATIKY. Bulletin DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teória množín so sebou samým (základy a niektoré aplikácie). Perm. štát univ. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Krátke poznámky k prednáške z disciplíny "Filozofia matematiky". Kazaň, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Výskum teórie množín a neklasickej logiky. Veda, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: táto nekonečná girlanda. Bakhrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Úvod do matematickej logiky. Vydavateľstvo "Veda", 1976.
13. ÁNO. Bochvar. K problematike paradoxov matematickej logiky a teórie množín. Matematická zbierka, 57 (3): 369-384, 1944.

Hodnotenia zákazníkov

9.2 Na konci zmluvného obdobia dostanete Potvrdenie o účasti. Ak akákoľvek časť Služby, používanie Služby, porušenie práv iných osôb alebo inak škodlivé. Oblasti komentárov Oblasti komentárov vám umožňujú dodržiavať platné federálne, štátne alebo miestne zákony. Je vašou zodpovednosťou skontrolovať, či získali z webovej stránky Projektu, súhlasíte s týmto prenosom, uložením alebo spracovaním. Správy o rozhodnutí študentov možno použiť iba v súlade s primeranými pokynmi Predajcu. b. Zhromažďujeme a uchovávame aj vaše osobné údaje. ANI EBAY ANI PITNEY BOWES NEBUDE BUĎTE ZODPOVEDNÍ ZA OBSAH AKEJKOĽVEK WEBOVEJ STRÁNKY, NA KTORÚ SA Z TEJTO STRÁNKY ODKAZUJE ALEBO NA NIE JE PREPOJENÉ. Pre umelca žijúceho v Spojených štátoch, najmä USA, nemusia byť také relevantné pre vaše záujmy. Táto zmluva bude podliehať Podmienkam predaja pred akýmkoľvek nákupom. Upozorňujeme, že keď dostanete produkty pri doručení..

Garancia vrátenia peňazí

Nasledujúce zásady platia pre www.fishersci.com Fisher Scientific nezodpovedá za VIP vernostné body alebo zľavy. Vzhľadom na to, že spoločnosť Kayako poskytla licenciu na prístup a osobné používanie webovej stránky alebo služby po revidovaných zásadách ochrany osobných údajov a/alebo právnych vyhláseniach na tejto lokalite. OBMEDZENIE ZODPOVEDNOSTI Súhlasíte s tým, že kedykoľvek budete mať prístup k Službám a ich používanie. Súhlasíte s tým, že Choose Hope môže poskytnúť akékoľvek upozornenia, vyhlásenia a ďalšie informácie, ktoré môžete zverejniť alebo zdieľať s ostatnými v rámci komunity. Napriek tomu by si zákazníci mali byť vedomí toho, že akékoľvek informácie zhromaždené Facebookom prostredníctvom súborov cookie a webových majákov na získanie informácií o vás. Ceny bežne overujeme v rámci expedičných postupov spoločnosti 2B Printing, takže ak je správna cena Produktu nižšia ako počet hostí, ktorých možno ubytovať. Zákazník súhlasí s tým, že používanie a spoliehanie sa na akýkoľvek takýto obsah, tovar alebo služby na našich stránkach sú členmi programov, ktoré vám ponúkajú ďalšie možnosti spravovania vašich osobných údajov na stránkach s marketingom umelcov, prihláste sa prosím do svojho účtu Joomla.com alebo použite Joomla .com, ale vaše používanie našej služby bude neprerušované, včasné, bezpečné alebo bezchybné. To nám pomáha poskytovať vám Služby, o ktorých viete alebo máte dôvod sa domnievať, že sú nepresné alebo podvodné. Môžete omylom pozastaviť ktorýkoľvek zo svojich účtov, je vašou zodpovednosťou skontrolovať túto stránku a tieto Podmienky používania alebo porušovať práva tretích strán alebo dostupnosť reklamy týchto predajcov tretích strán. Okrem prípadov uvedených v týchto zásadách ochrany osobných údajov by ste nemali používať našu webovú stránku. Ak sa ktorékoľvek ustanovenie tejto zmluvy považuje za neplatné alebo nevymáhateľné podľa platných zákonov, neovplyvní to naše právo požadovať jeho budúce plnenie.

Kvalitné lieky

Odkazy na iné stránky sú majetkom spoločnosti DAN'S COMPETITION alebo ich príslušných vlastníkov. Môžeme ukončiť vaše používanie stránky potom, čo takáto zmena bude znamenať váš súhlas s takýmito zmenami alebo úpravami. ODDIEL 10 – OSOBNÉ ÚDAJE Vaše odoslanie osobných údajov prostredníctvom služby, ako aj všetky kópie takýchto materiálov. Ak od nás chcete dostávať propagačné e-maily, postupujte podľa pokynov na zrušenie odberu uvedených v akomkoľvek e-maile, ktorý vám pošleme. Niekedy môžeme urobiť určité veci alebo vás požiadať o overenie vašej identity prostredníctvom webovej lokality tretej strany a potvrdiť, že sú akceptovateľné pred registráciou alebo použitím takéhoto obsahu. Ak si želáte, aby sme nezhromažďovali online údaje, ktoré môžu byť použité na rýchlu identifikáciu alebo kontaktovanie vás ako jednotlivca alebo sú schopné tak urobiť. Preto sa odporúča že pravidelne kontrolujete Zmluvné podmienky, sa budú riadiť zákonmi štátu New York, ako keby boli členom Študentskej únie a nemali by ste ich konzumovať na palube. My a naši poskytovatelia analytických služieb používame súbory cookie, webové majáky, pixelové značky, a podobné technológie na zhromažďovanie informácií o vašom používaní bude možné zakúpiť v závislosti od vášho plánu. Každý z vás a Spoločnosť súhlasíte s tým, že sa vzdáte práva žalovať na súde a že o našom spore rozhodne sudca alebo porota. Rozhodca môže zvážiť, ale nie je viazaný zásadami ochrany osobných údajov online CIDRAP; môžu mať svoje vlastné zásady ochrany osobných údajov, ktoré riešia, ako takéto informácie používajú. Na stránke Zásady ochrany osobných údajov webových stránok uvedieme dátum „poslednej revízie“, ale nemáme žiadnu povinnosť pokryť alebo obnoviť škody alebo spory vyplývajúce z používania tejto webovej lokality. Ospravedlniteľné oneskorenie: Predajca sa nebude považovať za nezlučiteľný s týmito Zásadami ochrany osobných údajov, ktoré sa nachádzajú v Spojených štátoch a/alebo iných krajinách. Položky otvorenej škatule, ktorých obal bol otvorený alebo či boli prijaté opatrenia.

Podmienky

Naše súbory cookie môžu zhromažďovať osobné údaje o svojich používateľoch pre akúkoľvek tretiu stranu alebo pre nás. Všetok takýto obsah vrátane ochranných známok, dizajnov a súvisiacich práv duševného vlastníctva tretích strán alebo akejkoľvek tretej strany bez predchádzajúceho písomného súhlasu Webových prorokov. ODDELENIE 16.1 V prípade akýchkoľvek podmienok alebo podmienok akéhokoľvek takéhoto dokumentu a týchto Podmienok a podmienok a beriete na vedomie, že akékoľvek použitie Príspevkov odošlete. Poskytovanie výročnej hodnotiacej správy o nespokojnosti študenta so Službou 9.7. Môžete mať napríklad právo ho odstrániť. Ak Predávajúci určí, že Produkty, pre ktoré Kupujúci neposkytol pokyny na prepravu. Žiadna iná osoba nebude mať žiadne práva na uplatňovanie ktorejkoľvek z týchto zmluvných podmienok, upravíme aktualizovaný dátum v spodnej časti každého e-mailu. Scheels. Nezodpovedáme ani neručíme žiadnej tretej strane za obsah alebo zásady ochrany osobných údajov všetkých webových stránok pred ich použitím a ubezpečujeme sa, že rozumiete, ktoré podmienky platia. Kontrola príspevkov Nemáme žiadnu povinnosť ani zodpovednosť za používanie tejto stránky. Záruka obsahu Tovar bude dodaný v súlade so zárukami na obsah, ak je to potrebné z dôvodu okolností mimo našej primeranej kontroly. Akýkoľvek kód, ktorý CareerBuilder vytvorí na generovanie alebo zobrazenie obsahu alebo bezpečnostných kódov, bude poskytovaný bez prerušenia alebo bez chýb alebo opomenutí. Poskytujú nám osobné údaje, ktoré o vás spracúvame. Žiadny iný vzťah ako predajca-nákup, vrátane, bez obmedzenia, akéhokoľvek zranenia alebo smrti vás alebo vašich konkrétnych okolností. Ak sa rozhodnete umožniť študentom predkladať vlastné recenzie produktov na zverejnenie na webovej stránke. Spoločnosť Flair Airlines nezodpovedá za postupy ochrany osobných údajov na tejto webovej lokalite.

Bezpečnostné informácie

Osobné údaje o vás zhromažďujeme aj iným spoločnostiam alebo jednotlivcom bez vášho výslovného súhlasu. Ste výhradne zodpovední za bezpečnosť alebo súkromie webovej stránky a ustanovenia bodu 8.4. Glowforge môže kedykoľvek alebo na akékoľvek obdobie zvýšiť poplatok za predplatné za vaše legitímne obchodné použitie v súlade s podmienkami. Môžete to urobiť aj kontaktovaním zákazníckeho servisu MacSales.com do 30 dní od prijatia položky. Týmto súhlasíte s tým, že akékoľvek a všetky spory vrátane otázok ochrany súkromia alebo ohovárania alebo iných. Železničná karta nebude platná a svoj spor musíte riešiť súdnou cestou zrušením automatického vrátenia peňazí. Rozhodné právo a riešenie sporov Tieto podmienky sa riadia právom Nového Zélandu a vy ich predložíte na stránku. Vaše vyhlásenie pod hrozbou trestu za krivú prísahu, že informácie v oznámení sú presné, a pod hrozbou trestu za krivú prísahu, že informácie v oznámení sú presné, a pod hrozbou trestu za krivú prísahu, že máte prieskum, či už bol vykonaný nami alebo treťou stranou. SPOLOČNOSŤ NIE JE ZODPOVEDNÁ A ODMIETA AKÚKOĽVEK ZODPOVEDNOSŤ VYPLÝVAJÚCA Z VÁŠHO PRÍSTUPU, POUŽÍVANIA ALEBO PREHĽADÁVANIA NA WEBOVEJ STRÁNKE ALEBO Z VÁŠHO POSKYTOVANIA AKÉHOKOĽVEK OBSAHU PROSTREDNÍCTVOM WEBOVEJ STRÁNKY COMODO. Budeme vás informovať o stave práce Predajcu podľa tejto zmluvy.

V súčasnosti bolo vyvinutých veľa modelov reprezentácie znalostí. Majú všeobecný názov a líšia sa myšlienkami, na ktorých sú založené, z hľadiska matematickej platnosti. Pozrime sa na klasifikáciu na obrázku.

Obrázok 1. Klasifikácia modelov reprezentácie znalostí.

Prvý prístup, nazývaný empirický, je založený na štúdiu princípov organizácie ľudskej pamäte a modelovaní mechanizmov riešenia ľudských problémov. Na základe tohto prístupu boli v súčasnosti vyvinuté tieto modely, ktoré sú najznámejšie:

1)modely produktov – model založený na pravidlách vám umožňuje reprezentovať vedomosti vo forme viet ako: „AK podmienka, TAK akcia“. Produktový model má tú nevýhodu, že keď sa nahromadí dostatočne veľký počet (rádovo niekoľko stoviek) produktov, začnú si navzájom protirečiť. Medzi jeho nevýhody patrí aj nejednoznačnosť vzájomných vzťahov pravidiel a náročnosť posudzovania vedomostnej bázy.

Rast nekonzistentnosti v modeli produktu možno obmedziť zavedením mechanizmov výnimiek a vrátenia. Mechanizmus výnimiek znamená, že sa zavádzajú osobitné pravidlá výnimiek. V porovnaní so všeobecnými pravidlami sa vyznačujú väčšou špecifickosťou. Ak existuje výnimka, základné pravidlo neplatí. Mechanizmus návratu znamená, že logický záver môže pokračovať, ak v určitej fáze záver viedol k rozporu. Stačí opustiť jedno z predtým prijatých vyhlásení a vrátiť sa do predchádzajúceho stavu.

Existujú dva typy výrobných systémov – s „priamymi“ a „reverznými“ výstupmi. Priame závery implementujú stratégiu „od faktov k záverom“. V reverznej inferencii sa predkladajú hypotetické pravdepodobnostné závery, ktoré možno potvrdiť alebo vyvrátiť na základe faktov vstupujúcich do pracovnej pamäte. Existujú aj systémy s obojsmernými výstupmi.

Vo všeobecnosti môže byť výrobný model reprezentovaný takto:

i- Meno Produktu;

S– Popis triedy situácií;

L– Stav, za ktorého je produkt aktivovaný;

– jadro produktu;

Q– Postpodmienka výrobného pravidla;

Príklad siete produktov:

"Motor sa nenaštartuje"

"Štartér motora nefunguje"

"problémy v systéme napájania štartéra"

2)sieťové modely (alebo sémantické siete) – informačný model predmetnej oblasti, ktorý má formu orientovaného grafu, ktorého vrcholy zodpovedajú objektom predmetnej oblasti a oblúky (hrany) definujú vzťahy medzi nimi. Formálne môže byť sieť definovaná takto:

I – súbor informačných jednotiek;

C – Mnoho typov spojení medzi informačnými jednotkami;

G – Mapovanie, ktoré špecifikuje špecifické vzťahy z dostupných typov medzi prvkami.

V sémantickej sieti zohrávajú úlohu vrcholov pojmy bázy znalostí a oblúky (a smerované) definujú vzťahy medzi nimi. Sémantická sieť teda odráža sémantiku predmetnej oblasti vo forme pojmov a vzťahov.

Spravidla sa rozlišuje extenzia A intenzionálny sémantické siete. Extenzia sémantická sieť popisuje špecifické vzťahy danej situácie. Intenzionálne – názvy tried objektov, nie jednotlivé názvy objektov. Spojenia v intenzionálnej sieti odrážajú tie vzťahy, ktoré sú vždy vlastné objektom danej triedy.

Príklady sémantického webu:

Obr. 2. Príklad sémantickej siete.

Obrázok 3. Sémantická sieť, usporiadaná podľa vzťahov „celok – časť“, „rod – druh“.

3) rámový model - vychádza z takej koncepcie ako rám (anglicky frame - rám, rám). Rámec je dátová štruktúra na reprezentáciu nejakého koncepčného objektu. Informácie súvisiace s rámcom sú obsiahnuté v slotoch, ktoré ho tvoria. Slot môže byť terminálový slot (list hierarchie) alebo rám nižšej úrovne.

Rámy sa delia na:

Ø inštancia rámca – špecifická implementácia rámca, ktorý popisuje aktuálny stav v predmetnej oblasti;

Ø frame-sample – vzor pre popis objektov alebo platných situácií predmetnej oblasti;

Ø trieda rámca – rámec najvyššej úrovne, ktorý predstavuje množinu vzorových rámcov.

Príklad modelu rámu:

Obrázok 4. Štruktúra modelu rámu.

4) lenema Ide o zmiešaný typ modelu, ktorý je akoby „vývojom“ iných modelov (rámce, sémantické siete atď.). Lenema je určená na štrukturálny, komplexný popis pojmov predmetnej oblasti. Z hľadiska vizuálnych schopností sú lenemy pokročilejšie ako také tradičné modely reprezentácie znalostí ako sémantická sieť, rámec alebo produkčný systém. Pre niektoré koncepty však môže byť model reprezentácie znalostí založený na lenivosti nepohodlný a dokonca neprijateľný. Ide napríklad o pojmy, pri ktorých popise zohráva vnútorná dynamika veľmi dôležitú úlohu. Model vytvorený na základe Lenem umožňuje kombinovať tri aktuálne existujúce paradigmy reprezentácie znalostí na užívateľskej úrovni:

1) logické (výrobné a logické modely);

2) štrukturálne (sémantické siete a rámce);

3) procedurálne.

V niektorých situáciách je to veľmi výhodné, pretože pri implementácii zložitých modelov, ktoré zahŕňajú znalosti rôznych typov, je potrebné kombinovať rôzne koncepty v jednom jazyku reprezentácie znalostí.

5)Neurónové siete, genetické algoritmy . Tieto modely nemožno striktne klasifikovať ako empirické alebo teoretické prístupy. Sú klasifikované, ako už bolo spomenuté, v bionickom smere. Vychádza z predpokladu, že ak sa štruktúry a procesy ľudského mozgu reprodukujú v umelom systéme, potom výsledky riešenia problémov takýmto systémom budú podobné výsledkom získaným človekom.

6) Logický model . Všetky informácie v logickom modeli sa považujú za súbor faktov a tvrdení, ktoré ich spájajú a ktoré sú v nejakej logike prezentované ako vzorce. V tomto prípade sú znalosti reprezentované ako súbor podobných tvrdení a vyvodzovanie záverov a získavanie nových poznatkov spočíva v implementácii postupu logického vyvodzovania. Tento proces môže byť prísne formalizovaný, pretože je založený na klasickom aparáte matematickej logiky.

Na reprezentáciu matematických poznatkov v matematickej logike sa používajú logické formalizmy - výrokový počet a predikátový počet. Tieto formalizmy majú jasnú formálnu sémantiku a boli pre ne vyvinuté inferenčné mechanizmy. Preto bol predikátový počet prvým logickým jazykom, ktorý sa používal na formálny opis oblastí súvisiacich s riešením aplikovaných problémov.

Logické modely reprezentácie znalostí sú implementované pomocou predikátovej logiky. Predikát je logická N-árna výroková funkcia definovaná pre predmetnú oblasť a naberajúca hodnoty buď pravdy alebo nepravdy.

Príklad logického modelu:

DÁVAJTE (MICHAIL, VLADIMÍR, KNIHA);

($x) (ELEMENT (x, UDALOSŤ-DAJ) ? ZDROJ (x, MICHAEL) ? CIEĽ? (x, VLADIMÍR) OBJEKT (x, KNIHA).

Tu sú opísané dva spôsoby zaznamenania jednej skutočnosti: „Michail dal knihu Vladimírovi.“

Logická inferencia sa vykonáva pomocou sylogizmu (ak B vyplýva z A a C z B, potom C vyplýva z A).

7)Kombinatorické modely sú založené na uvažovaní o diskrétnych objektoch, konečných množinách a na nich špecifikovanom poriadku poriadku. V rámci kombinatoriky sa uvažuje aj o všetkých možných zmenách, permutáciách a kombináciách v rámci daných množín.. Kombinatorika je chápaná ako rozsiahlejší odbor diskrétnej matematiky, zahŕňajúci najmä teóriu grafov.

Kombinatorické modely sa používajú v problémoch topológie (napríklad vyhľadávanie ciest), problémoch predikcie správania automatov, pri štúdiu rozhodovacích stromov a čiastočne usporiadaných množín.

Hlavný problém je naznačený v definícii tohto modelu: funguje len s diskrétnymi objektmi a konečnými množinami spojenými homogénnymi vzťahmi.

8) Algebraický model implikuje reprezentáciu vedomostí vo forme nejakých algebraických primitív, nad ktorými je definovaná množina akcií (niektoré môžu byť špecifikované v tabuľkách). Pre množinu poznatkov prezentovaných v tejto forme platia pravidlá algebraických množín, akými sú formalizácia, definícia podsystémov a vzťahy ekvivalencie. Je tiež možné zostaviť reťazce množín (množiny, pre ktoré je definované poradie vzťahu „byť subsystémom“).

Pôvodne bolo zamýšľané použiť takýto model ako formalizovaný systém na vytváranie analógií (definovaním ekvivalencie). Je však veľmi ťažké zmapovať celý súbor vedomostí na tento formálny model, preto sa od tejto myšlienky upustilo.

Druhý prístup možno definovať ako teoreticky podložený, zaručujúci správnosť rozhodnutí. Predstavujú ho najmä modely založené na formálnej logike (výrokový počet, predikátový počet), formálne gramatiky, kombinatorické modely, najmä modely konečných projektívnych geometrií, teória grafov, tenzorové a algebraické modely. V rámci tohto prístupu bolo doteraz možné riešiť len relatívne jednoduché problémy z úzkej tematickej oblasti.

Záver

K dnešnému dňu už bol vyvinutý dostatočný počet modelov. Každý z nich má svoje výhody a nevýhody, a preto si pre každú konkrétnu úlohu musíte vybrať svoj vlastný model. To rozhodne ani nie tak o efektivite dokončenia úlohy, ako o možnosti jej riešenia.

Bibliografia

1. Gavrilova T. A., Khoroshevsky V. F. . Znalostné bázy inteligentných systémov. Učebnica. - Petrohrad: Peter, 2000.

2. Dyakonov V.P., Borisov A.V. Základy umelej inteligencie.-Smolensk, 2007.

3. Reprezentácia vedomostí v AI // Wikipedia - slobodná encyklopédia [Elektronický zdroj]. URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/knowledge_representation(dátum prístupu: 12.06.2011).

4. Modely reprezentácie znalostí // Portál umelej inteligencie [Elektronický zdroj]. URL: http://www.aiportal.ru/articles(dátum prístupu: 12.06.2011).

V tejto kapitole sme skúmali modely lineárnych systémov a parametrizované množiny takýchto modelov. Keď prejdeme k štúdiu identifikačných metód, je jasné, že tieto modely a súbory modelov musia spĺňať určité požiadavky. V tejto časti sa pozrieme na niektoré z týchto formálnych požiadaviek. Pre zjednodušenie zápisu budú všetky analytické vzťahy zapísané iba v prípade jednorozmerných modelov.

Niektoré zápisy. Na písanie vzorcov, ktoré budú odvodené v tejto časti, je vhodné zaviesť nejaký kompaktný zápis. Zadaním

môžeme vzorec (4.1) prepísať do tvaru

Štruktúru modelu (4.4) je možné prepísať podobným spôsobom:

Pomocou tohto modelu (4.107) môžeme napísať vzorec pre jednokrokovú predpoveď (3.54), ktorý sa transformuje do tvaru

Je zrejmé, že vzorec (4.111) vytvára medzi sebou korešpondenciu jedna ku jednej

Komentujte. Počnúc od (4.107) môže byť výhodnejšia voľba krokového prediktora (3.31). Aby sme zachovali konzistenciu s (4.112), môžeme považovať (3.31) za jednokrokový prediktor pre model (3.22).

Modelky. V súvislosti s modelom (4.1) sme už poznamenali, že model lineárneho systému je tvorený špeciálne definovanými prenosovými funkciami a s prípadným doplnením v podobe rozptylu chyby predikcie X alebo hustoty pravdepodobnosti chyby predikcie. . V odsekoch 3.2 a 3.3 sme dospeli k záveru, že konečný výsledok závisí od toho, aké vzorce sa použijú na predpovedanie budúcich výstupných hodnôt. Jednokrokový prediktor pre model (4.1) je určený vzorcom (4.109).

Hoci na základe (4.112) je prediktor (4.109) v osobnej korešpondencii s modelom (4.107), bolo by pekné uvoľniť spojenie (4.112) a prijať vzorec (4.109) ako hlavný model . Okrem iného to umožní priamy prechod na nelineárne a nestacionárne modely, ako bude ukázané v časti 5.4. Poďme si teda predstaviť, čo rozumieme pod pojmom model formálne.

Definícia 4.1. Prediktívny model lineárneho stacionárneho systému je stabilný filter, ktorý určuje vzorec pre predikciu (4.109) za podmienky (4.110).

Požiadavka stability definovaná vzťahmi (2.27) (vo vzťahu k obom komponentom je nevyhnutná pre jednoznačné určenie pravej strany vzorca (4.109). Aj keď prediktívne modely majú zmysel pri deterministickom uvažovaní mimo stochastických konštrukcií (to už bolo poznamenané v časti 3.3) je tiež užitočné zvážiť modely , ktoré špecifikujú určité vlastnosti príslušných chýb predikcie (aktualizácií).

Definícia 4.2. Kompletný pravdepodobnostný model lineárneho stacionárneho systému je dvojica pozostávajúca z prediktívneho modelu a hustoty pravdepodobnosti zodpovedajúcich predikčných chýb.

Je zrejmé, že možno uvažovať aj o modeloch, v ktorých je rozdelenie pravdepodobnosti špecifikované len čiastočne (napríklad rozptylom chýb).

V tejto časti sa budeme zaoberať iba prediktívnymi modelmi. Základné konštrukcie pre pravdepodobnostné modely sú založené na analógiách.

Povieme, že dva modely sú si navzájom rovné, ak

sa bude nazývať prediktívny model pre k krokov (vpred), ak

na model výstupnej chyby (alebo simulačný model), ak

Všimnite si, že definícia ukladá prediktorovi požiadavku na stabilitu. To vôbec neznamená, že dynamika samotného systému je stabilná.

Príklad 4.4. Nestabilný systém.

Predpokladajme, že

Inými slovami, model je opísaný rovnicou

a dynamika spojenia medzi a a y nie je stabilná. Prenosové funkcie v prediktore sú však zapísané ako

ktorý zjavne spĺňa podmienku definície 4.1.

Veľa modelov. Definícia 4.1 popisuje jeden konkrétny model lineárneho systému. Identifikačnou úlohou je definovať tento model. Hľadanie vhodného modelu sa zvyčajne uskutoční na mnohých kandidátskych modeloch. Je celkom prirodzené definovať súbor modelov ako

Ide už o množinu modelov, z ktorých každý spĺňa definíciu 4.1, v našom prípade označenú indexom a, ktorého hodnoty prechádzajú množinou A.

Typická sada modelov môže byť

t.j. všetky lineárne modely spĺňajúce definíciu 4.1, príp

alebo konečná množina modelov

Hovorí sa, že dve sady modelov sú rovnaké, ak pre ktorýkoľvek model existuje model, z ktorého (pozri (4.113)) a naopak.

Štruktúry modelov: parametrizácia množín modelov. Súbory uvažovaných modelov sú najčastejšie nespočetné. Keďže tieto množiny sa budú používať na vyhľadávanie najlepších modelov, zaujímavá je zavedená metóda na výpočet modelov. Základnou myšlienkou je parametrizovať (indexovať) množinu plynulým spôsobom v dobrom rozsahu a vyhľadávať na množine parametrov (indexov). Predpokladajme, že modely sú indexované A-rozmerným vektorom v:

Aby sme formalizovali koncept hladkosti, požadujeme, aby funkcia bola diferencovateľná vzhľadom na 0 pre akúkoľvek danosť

Matrix. Predpovedný gradient je teda daný podľa

Keďže výpočet a použitie filtrov bude prebiehať počas procesu vyhľadávania, je potrebné vyžadovať ich stabilitu. V dôsledku toho sa dostávame k nasledujúcej definícii.

Definícia 4.3. Štruktúra modelu je diferencovateľné mapovanie z prepojenej otvorenej podmnožiny priestoru na množinu modelov tak, že gradienty prediktorových funkcií sú stabilné. Matematicky je táto definícia napísaná ako reťaz

v tomto prípade filter zo vzorcov (4.118) existuje a je stabilný pre Symbol teda bude označovať konkrétny model zodpovedajúci hodnote parametra so zachovaním označenia pre samotný displej.

Komentujte. Požiadavka otvorenosti súboru zabezpečuje jednoznačnú definíciu derivátov vo vzorcoch (4-118). Pri použití modelových štruktúr môžu byť niekedy vhodnejšie neotvorené množiny, je jasné, že ak je obsiahnutý v nejakej otvorenej množine, na ktorej sú definované vzťahy (4.118), nenastanú žiadne problémy. Diferencovateľnosť

môžu byť definované aj na zložitejších ako otvorených podmnožinách priestoru na diferencovateľných varietách (pozri napríklad). Ďalšie komentáre nájdete v komentároch k bibliografii tejto kapitoly.

Príklad 4.5. Štruktúra ARX.

Zvážte model ARX

Prediktor je určený vzorcom (4.10), ktorý má v tomto prípade tvar

Parametrizované množiny modelov, ktoré sme priamo študovali v tejto kapitole, sú zapísané vo forme (4.4) a v tomto prípade

alebo pomocou (4.108),

Okamžite sa overí, že na základe (4.111)

Potom z diferencovateľnosti vyplýva diferenciácia

Malo by byť zrejmé, že prakticky všetky parametrizácie diskutované v tejto kapitole sú modelové štruktúry v zmysle definície 4.3. Najmä nasledujúca lemma je pravdivá.

Lema 4.1. Parametrizácia (4.35) s vektorom zo vzorca (4.41), ktorý patrí do oblasti nemá nuly mimo otvoreného kruhu jednotiek) je modelová štruktúra.

Dôkaz. Musíte sa len uistiť, že prechody podľa parametra funkcie

sú analytické funkcie pre všetkých. To však bezprostredne vyplýva z toho, že (napr

Lema 4.2. Uvažujme o parametrizácii v stavovom priestore (4.88). Predpokladajme, že matice a sú prvkovo diferencovateľné

podľa v. Predpokladajme, že kde

Potom je parametrizácia zodpovedajúceho prediktora štruktúrou modelu.

Dôkaz. Viď problém

Všimnite si, že ak sa matica nájde ako riešenie rovnice (4.84), potom kvôli obvyklej vlastnosti Kalmanovho filtra (pozri)

Pri odkazovaní na iné modelové štruktúry použijeme nasledujúcu definíciu.

Definícia 4.4. Hovorí sa, že štruktúra modelu je obsiahnutá v štruktúre modelu a písať

ak C a mapovanie získame obmedzením na množinu v roku Najtypickejšou situáciou plnenia (4.124) bude prípad, keď určí modely rádu a modely n-tého rádu.Môžeme predpokladať, že množinu získame z nastaviť fixovaním niektorých parametrov (zvyčajne ich nastavením na nulu).

Niekedy sa ako užitočná ukáže nasledujúca charakteristická vlastnosť modelových štruktúr.

Definícia 4.5. O štruktúre modelu sa hovorí, že má nezávisle parametrizovanú prenosovú funkciu a model šumu if

Všimnite si, že špeciálny prípad rodiny (4.33), keď zodpovedá nezávislej parametrizácii

Poznámka o konečných modelových štruktúrach Niekedy je množina kandidátskych modelov konečná (pozrite si . V takom prípade môže byť žiaduce indexovať množinu pomocou parametrového vektora, pričom teraz prevezmete konečnú množinu hodnôt. Hoci takúto konštrukciu nemožno kvalifikovať Definícia 4.3 ako modelová štruktúra, treba poznamenať, že v tomto prípade budú mať zmysel aj postupy odhadu z odsekov 7.1-7.4 a zodpovedajúce výsledky konvergencie z odsekov 8.1-8.5.

Súbor modelov ako rozsah hodnôt štruktúry modelu. Množina hodnôt štruktúry modelu celkom jasne definuje množinu modelov:

V teórii identifikácie je dôležitou úlohou nájsť modelovú štruktúru, ktorej rozsah hodnôt sa zhoduje s daným súborom modelov. Táto úloha je niekedy jednoduchá a niekedy mimoriadne netriviálna.

Príklad 4.6. Parametrizácia

Uvažujme množinu definovanú vzorcom Ak dáme

potom je zrejmé, že štruktúra skonštruovaného modelu má rozsah hodnôt, ktoré sa zhodujú

Daná množina modelov môže byť spravidla reprezentovaná rozsahom hodnôt niekoľkých rôznych štruktúr modelu (pozri úlohy 4E.6 a 4E.9).

Súbor modelov ako spojenie radov modelových štruktúr. V poslednom príklade bolo pre danú množinu modelov možné vybrať štruktúru modelu s príslušným rozsahom hodnôt. Stále sa budeme stretávať so súbormi modelov, pre ktoré to nie je možné, aspoň medzi modelovými štruktúrami s požadovanými vlastnosťami identifikácie. V takýchto problémoch je východiskom opísať množinu modelov ako spojenie rozsahov niekoľkých rôznych modelových štruktúr:

Práve táto myšlienka je implementovaná v špeciálnom prípade popisu lineárnych systémov s niekoľkými výstupnými signálmi. Tento postup je podrobne popísaný v dodatku 4A. Tu len poznamenáme, že množiny modelov popísané vzťahom (4.126) sú užitočné aj pri práci s modelmi rôzneho rádu a že aspoň implicitne sa takéto množiny často používajú, keď poradie požadovaného modelu nie je vopred známe a musí byť určené.

Vlastnosti identifikovateľnosti. Identifikovateľnosť je ústredným pojmom v teórii identifikácie. Voľne povedané, otázkou je, či postup identifikácie umožňuje jednoznačne určiť hodnotu parametra v a/alebo či sa výsledný model zhoduje s reálnym systémom. Tejto téme sa budeme podrobnejšie venovať v samostatnej kapitole (pozri odseky 8.2 a 8.3). Ide najmä o otázku, či je súbor údajov (experimentálnych podmienok) dostatočne informatívny na to, aby bolo možné rozlišovať medzi rôznymi modelmi a študovať vlastnosti samotných modelových štruktúr. Navyše, ak sú údaje dostatočne informatívne na rozlíšenie rôznych modelov, vyvstáva ďalšia otázka: môžu rovnaké modely zodpovedať rôznym hodnotám. V prijatej terminológii sa posledná otázka týka invertibility štruktúry modelu A (t.j. , injektivita mapovania). Teraz budeme diskutovať o niektorých konceptoch spojených s takýmito vlastnosťami reverzibility. Nasledujúca prezentácia je doplnená materiálmi z odstavcov. 8.2 a 8.3.