Stochastický model v ekonómii. Deterministické a stochastické modely

Matematické modely v ekonómii a programovaní

1. Deterministické a pravdepodobnostné matematické modely v ekonómii. Výhody a nevýhody

Metódy štúdia ekonomických procesov sú založené na použití matematicko – deterministických a pravdepodobnostných – modelov reprezentujúcich proces, systém alebo typ skúmanej činnosti. Takéto modely poskytujú kvantitatívny popis problému a slúžia ako základ pre rozhodovanie manažmentu pri hľadaní optimálnej možnosti. Nakoľko sú tieto rozhodnutia opodstatnené, či sú najlepšie možné, sú zohľadnené a zvážené všetky faktory, ktoré určujú optimálne riešenie, aké je kritérium na určenie toho, že toto riešenie je skutočne najlepšie – to je okruh otázok, ktoré veľký význam pre výrobných manažérov a odpoveď na ňu možno nájsť pomocou metód operačného výskumu [Chesnokov S.V. Deterministická analýza sociálno-ekonomických údajov. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Jedným z princípov formovania riadiaceho systému je metóda kybernetických (matematických) modelov. Matematické modelovanie zaujíma medzipolohu medzi experimentom a teóriou: nie je potrebné vytvárať skutočný fyzikálny model systému, nahradí ho matematický model. Osobitosť vzniku riadiaceho systému spočíva v pravdepodobnostnom, štatistickom prístupe k procesom riadenia. V kybernetike sa uznáva, že každý riadiaci proces podlieha náhodným, rušivým vplyvom. Výrobný proces je teda ovplyvňovaný veľkým množstvom faktorov, ktoré nemožno deterministicky brať do úvahy. Preto sa proces výroby považuje za ovplyvnený náhodnými signálmi. Z tohto dôvodu môže byť podnikové plánovanie iba pravdepodobnostné.

Z týchto dôvodov, keď hovoríme o matematickom modelovaní ekonomických procesov, majú často na mysli pravdepodobnostné modely.

Opíšme každý typ matematického modelu.

Deterministické matematické modely sú charakteristické tým, že vzťah niektorých faktorov s efektívnym ukazovateľom opisujú ako funkčnú závislosť, t.j. v deterministických modeloch je efektívny ukazovateľ modelu prezentovaný vo forme súčinu, kvocientu, algebraického modelu. súčet faktorov, alebo vo forme akejkoľvek inej funkcie. Tento typ matematických modelov je najbežnejší, pretože je pomerne jednoduchý na používanie (v porovnaní s pravdepodobnostnými modelmi) umožňuje pochopiť logiku pôsobenia hlavných faktorov vo vývoji ekonomického procesu, kvantifikovať ich vplyv, pochopiť, ktoré faktory a v akom pomere je možné a vhodné zmeniť na zvýšenie efektívnosti výroby.

Pravdepodobnostné matematické modely sa zásadne líšia od deterministických v tom, že v pravdepodobnostných modeloch je vzťah medzi faktormi a výsledným atribútom pravdepodobnostný (stochastický): pri funkčnej závislosti (deterministické modely) rovnaký stav faktorov zodpovedá jedinému stavu výsledného atribút, pričom v pravdepodobnostných modeloch jeden a ten istý stav faktorov zodpovedá celému súboru stavov výsledného atribútu [Tolstova Yu. N. Logika matematickej analýzy ekonomických procesov. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Výhodou deterministických modelov je ich jednoduché použitie. Hlavnou nevýhodou je nízka primeranosť reality, keďže, ako bolo uvedené vyššie, väčšina ekonomických procesov má pravdepodobnostný charakter.

Výhodou pravdepodobnostných modelov je, že sú spravidla viac v súlade s realitou (adekvátnejšie) ako deterministické. Nevýhodou pravdepodobnostných modelov je však zložitosť a pracovná náročnosť ich aplikácie, preto sa v mnohých situáciách stačí obmedziť na deterministické modely.

2. Vyjadrenie úlohy lineárneho programovania na príklade úlohy potravinovej dávky

Prvýkrát formulácia úlohy lineárneho programovania vo forme návrhu na zostavenie optimálneho plánu dopravy; umožňujúci minimalizovať celkový počet najazdených kilometrov bol uvedený v práci sovietskeho ekonóma A. N. Tolstého v roku 1930.

Systematické štúdium problémov lineárneho programovania a vývoj všeobecných metód na ich riešenie sa ďalej rozvíjali v prácach ruských matematikov L. V. Kantoroviča, V. S. Nemčinova a ďalších matematikov a ekonómov. Metódam lineárneho programovania sa venuje aj veľa prác zahraničných a predovšetkým amerických vedcov.

Problém lineárneho programovania je maximalizovať (minimalizovať) lineárnu funkciu.

pod obmedzeniami

a všetko

Komentujte. Nerovnosti môžu mať aj opačný význam. Vynásobením príslušných nerovností (-1) je možné vždy získať systém tvaru (*).

Ak je počet premenných v systéme obmedzení a cieľovej funkcie v matematickom modeli úlohy 2, potom sa to dá riešiť graficky.

Takže musíme maximalizovať funkciu na uspokojujúci systém obmedzení.

Vráťme sa k jednej z nerovností systému obmedzení.

Z geometrického hľadiska musia všetky body vyhovujúce tejto nerovnici ležať buď na priamke, alebo patriť do niektorej z polrovín, na ktoré je rovina tejto priamky rozdelená. Aby ste to zistili, musíte skontrolovať, ktorý z nich obsahuje bodku ().

Poznámka 2. Ak , potom je ľahšie získať bod (0;0).

Podmienky nezápornosti tiež definujú polroviny s hraničnými čiarami. Budeme predpokladať, že sústava nerovníc je konzistentná, potom polroviny, pretínajúce sa, tvoria spoločnú časť, ktorá je konvexnou množinou a predstavuje množinu bodov, ktorých súradnice sú riešením tejto sústavy - to je množina prípustných riešenia. Množina týchto bodov (riešení) sa nazýva polygón riešenia. Môže to byť bod, lúč, mnohouholník alebo neohraničená mnohouholníková oblasť. Úlohou lineárneho programovania je teda nájsť v rozhodovacom polygóne bod, v ktorom účelová funkcia nadobudne maximálnu (minimálnu) hodnotu. Tento bod existuje vtedy, keď polygón riešenia nie je prázdny a účelová funkcia na ňom je ohraničená zhora (zdola). Za zadaných podmienok v jednom z vrcholov polygónu riešenia nadobúda účelová funkcia maximálnu hodnotu. Na určenie tohto vrcholu zostrojíme priamku (kde h je nejaká konštanta). Najčastejšie sa berie priamka. Zostáva zistiť smer pohybu tejto čiary. Tento smer je určený gradientom (antigradientom) účelovej funkcie.

Vektor v každom bode je kolmý na čiaru, takže hodnota f sa bude zvyšovať, keď sa čiara pohybuje v smere gradientu (klesá v smere antigradientu). Za týmto účelom nakreslite rovné čiary rovnobežné s priamkou a posúvajte sa v smere sklonu (antigradient).

V týchto konštrukciách budeme pokračovať, kým čiara neprejde posledným vrcholom polygónu riešenia. Tento bod určuje optimálnu hodnotu.

Takže hľadanie riešenia problému lineárneho programovania pomocou geometrickej metódy zahŕňa nasledujúce kroky:

Zostrojujú sa čiary, ktorých rovnice sa získajú nahradením znakov nerovnosti v obmedzeniach presnými znakmi rovnosti.

Nájdite polroviny definované každým z obmedzení problému.

Nájdite mnohouholník riešenia.

Zostavte vektor.

Stavajú priamku.

Konštruujú rovnobežné priamky v smere gradientu alebo antigradientu, v dôsledku čoho nájdu bod, v ktorom funkcia nadobudne maximálnu alebo minimálnu hodnotu, alebo zistia, že funkcia je zhora (zdola) neobmedzená. prípustná množina.

Určia sa súradnice maximálneho (minimálneho) bodu funkcie a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie v tomto bode.

Problém racionálnej výživy (problém s prídelom potravín)

Formulácia problému

Farma vykrmuje hospodárske zvieratá na komerčné účely. Pre jednoduchosť predpokladajme, že existujú iba štyri typy produktov: P1, P2, P3, P4; Jednotkové náklady každého produktu sa rovnajú C1, C2, C3, C4. Z týchto produktov musíte vytvoriť stravu, ktorá musí obsahovať: bielkoviny - najmenej b1 jednotiek; uhľohydráty - najmenej b2 jednotky; tuk - najmenej b3 jednotky. Pre produkty P1, P2, P3, P4 je obsah bielkovín, sacharidov a tukov (v jednotkách na jednotku produktu) známy a špecifikovaný v tabuľke, kde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - niektoré špecifické čísla; prvý index označuje číslo produktu, druhý - číslo prvku (bielkoviny, sacharidy, tuky).

Modely systémov, o ktorých sme doteraz hovorili, boli deterministické (určité), t.j. špecifikovanie vstupného vplyvu jednoznačne určilo výstup systému. V praxi sa to však stáva zriedka: popis reálnych systémov je zvyčajne spojený s neistotou. Napríklad pre statický model možno neistotu vziať do úvahy napísaním vzťahu (2.1)

kde je chyba normalizovaná na výstup systému.

Dôvody neistoty sú rôzne:

– chyby a interferencie pri meraniach vstupov a výstupov systému (prirodzené chyby);

– nepresnosť samotného modelu systému, ktorá núti umelo vniesť chybu do modelu;

– neúplné informácie o systémových parametroch a pod.

Spomedzi rôznych metód objasňovania a formalizácie neistoty je najrozšírenejší chaotický (pravdepodobnostný) prístup, v ktorom sa neisté veličiny považujú za náhodné. Vyvinutý pojmový a výpočtový aparát teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky nám umožňuje dať konkrétne odporúčania pre výber štruktúry systému a odhad jeho parametrov. Klasifikácia stochastických modelov systémov a metódy ich štúdia sú uvedené v tabuľke. 1.4. Závery a odporúčania sú založené na efekte spriemerovania: náhodné odchýlky výsledkov merania určitej veličiny od jej očakávanej hodnoty sa pri sčítaní navzájom rušia a aritmetický priemer veľkého počtu meraní sa ukazuje byť blízky očakávanej hodnote. . Matematické formulácie tohto efektu sú dané zákonom veľkých čísel a centrálnou limitnou vetou. Zákon veľkých čísel hovorí, že ak sú náhodné premenné s matematickým očakávaním (stredná hodnota) a rozptylom, potom

dostatočne veľké N. To naznačuje zásadnú možnosť vykonať ľubovoľne presné hodnotenie na základe meraní. Centrálna limitná veta, objasňujúca (2.32), hovorí, že

kde je štandardná normálne rozdelená náhodná premenná

Keďže rozdelenie veličiny je dobre známe a tabuľkové (napríklad je známe, že vzťah (2.33) umožňuje vypočítať chybu odhadu. Povedzme napríklad, že chcete zistiť, pri akom počte meraní je chyba odhadu ich matematické očakávanie s pravdepodobnosťou 0,95 bude menšie ako 0,01 , ak rozptyl každého merania je 0,25. Z (2.33) dostaneme, že nerovnosť musí byť splnená, odkiaľ N> 10000.

Samozrejme, formulácie (2.32), (2.33) môžu mať rigoróznejšiu formu, a to sa dá ľahko urobiť pomocou konceptov pravdepodobnostnej konvergencie. Ťažkosti vznikajú pri pokuse o testovanie podmienok týchto prísnych vyhlásení. Napríklad zákon veľkých čísel a centrálna limitná veta vyžadujú nezávislosť jednotlivých meraní (realizácií) náhodnej premennej a konečnosti jej rozptylu. Ak sú tieto podmienky porušené, potom môžu byť porušené aj závery. Napríklad, ak sa všetky merania zhodujú: potom, hoci sú splnené všetky ostatné podmienky, nemôže byť reč o spriemerovaní. Ďalší príklad: zákon veľkých čísel je nespravodlivý, ak sú náhodné veličiny rozdelené podľa Cauchyho zákona (s hustotou rozdelenia, ktorá nemá konečné matematické očakávanie a disperziu. Ale taký zákon sa v živote nachádza! Napríklad podľa Cauchyho, integrálne osvetlenie bodov na priamom brehu rovnomerne rotujúcim reflektorom umiestneným na mori (na lodi) a zapínaním v náhodných časoch.

Ešte väčšie ťažkosti však vznikajú pri kontrole platnosti samotného použitia pojmu „náhodný“. Čo je náhodná premenná, náhodná udalosť atď. Často sa hovorí, že udalosť A náhodou, ak sa v dôsledku experimentu môže vyskytnúť (s pravdepodobnosťou R) alebo nenastane (s pravdepodobnosťou 1- R). Všetko však nie je také jednoduché. Samotný pojem pravdepodobnosti možno spájať s výsledkami experimentov iba prostredníctvom frekvencie jej výskytu v určitom počte (sériách) experimentov: , kde N A- počet experimentov, pri ktorých k udalosti došlo, N- celkový počet; experimenty. Ak sú čísla dostatočne veľké N priblížiť sa k nejakému konštantnému číslu r A:

tej udalosti A možno nazvať náhodné a číslo R- jeho pravdepodobnosť. V tomto prípade by mali byť frekvencie pozorované v rôznych sériách experimentov blízko seba (táto vlastnosť sa nazýva štatistická stabilita alebo homogenita). Vyššie uvedené platí aj pre koncept náhodnej premennej, pretože hodnota je náhodná, ak sú udalosti náhodné (a<£<Ь} для любых чисел A,b. Frekvencie výskytu takýchto udalostí v dlhých sériách experimentov by sa mali zoskupovať okolo určitých konštantných hodnôt.

Aby bol stochastický prístup použiteľný, musia byť splnené tieto požiadavky:

1) obrovský rozsah vykonávaných experimentov, t.j. pomerne veľký počet;

2) opakovateľnosť experimentálnych podmienok, odôvodňujúca porovnanie výsledkov rôznych experimentov;

3) štatistická stabilita.

Stochastický prístup sa samozrejme nedá aplikovať na jednotlivé experimenty: výrazy ako „pravdepodobnosť, že zajtra bude pršať“, „s pravdepodobnosťou 0,8, Zenit vyhrá pohár“ atď. sú nezmyselné. Ale aj keď sú experimenty rozšírené a opakovateľné, nemusí existovať štatistická stabilita a overiť to nie je ľahká úloha. Známe odhady prípustnej odchýlky frekvencie od pravdepodobnosti sú založené na centrálnej limitnej vete alebo Čebyševovej nerovnosti a vyžadujú si ďalšie hypotézy o nezávislosti alebo slabej závislosti meraní. Experimentálne overenie podmienky nezávislosti je ešte ťažšie, pretože si vyžaduje ďalšie experimenty.

Metodika a praktické recepty na aplikáciu teórie pravdepodobnosti sú podrobnejšie uvedené v poučnej knihe V.N. Tutubalin, ktorého predstava je daná citáciami nižšie:

„Je mimoriadne dôležité odstrániť mylnú predstavu, ktorá sa niekedy vyskytuje medzi inžiniermi a prírodnými vedcami, ktorí nie sú dostatočne oboznámení s teóriou pravdepodobnosti, že výsledok akéhokoľvek experimentu možno považovať za náhodnú premennú. V obzvlášť závažných prípadoch je to sprevádzané vierou v normálny zákon rozdelenia, a ak náhodné premenné samotné nie sú normálne, potom veria, že ich logaritmy sú normálne.

„Podľa moderných koncepcií je rozsah aplikácie metód teórie pravdepodobnosti obmedzený na javy, ktoré sa vyznačujú štatistickou stabilitou. Testovanie štatistickej stability je však zložité a vždy neúplné a často vedie k negatívnym záverom. V dôsledku toho sa v celých oblastiach poznania, napríklad v geológii, stal normou prístup, v ktorom sa štatistická stabilita vôbec nekontroluje, čo nevyhnutne vedie k závažným chybám. Navyše, propaganda kybernetiky, ktorú podnikli naši poprední vedci, priniesla (v niektorých prípadoch!) trochu neočakávaný výsledok: v súčasnosti sa verí, že objektívne vedecké výsledky je schopný dosiahnuť iba stroj (a nie človek).

Za takýchto okolností je povinnosťou každého učiteľa znovu a znovu propagovať starú pravdu, ktorú sa Peter I. snažil (neúspešne) vštepovať ruským obchodníkom: že obchodovať treba čestne, bez klamstva, pretože v konečnom dôsledku je to výhodnejšie. seba.“

Ako zostaviť model systému, ak existuje neistota v probléme, ale stochastický prístup nie je použiteľný? Nižšie stručne načrtneme jeden z alternatívnych prístupov založený na teórii fuzzy množín.

Pripomíname, že relácia (vzťah medzi a) je podmnožinou množiny. tie. nejaká množina párov R=(( X, pri)), Kde,. Napríklad funkčné spojenie (závislosť) môže byť reprezentované ako vzťah medzi množinami vrátane párov ( X, pri), pre ktoré.

V najjednoduchšom prípade to môže byť, a R je vzťah identity, ak.

Príklady 12-15 v tabuľke. 1. 1 boli vynájdené v roku 1988 študentom 86. ročníka školy 292 M. Koroteevom.

Matematik si tu, samozrejme, všimne, že minimum v (1.4), striktne povedané, nemusí byť dosiahnuté a vo formulácii (1.4) je potrebné nahradiť rnin inf („infimum“ je presné infimum súbor). To však situáciu nezmení: formalizácia v tomto prípade neodráža podstatu úlohy, t.j. vykonané nesprávne. V budúcnosti, aby sme inžiniera „nevystrašili“, budeme používať zápis min, max; majúc na pamäti, že v prípade potreby by sa mali nahradiť všeobecnejšími inf, súp.

Tu sa výraz „štruktúra“ používa v trochu užšom zmysle, ako v pododdiele. 1.1, a znamená skladbu subsystémov v systéme a typy spojení medzi nimi.

Graf je pár ( G, R), kde G=(g 1 ... g n) je konečná množina vrcholov, a - binárny vzťah k G. Ak, potom a len vtedy, potom sa graf nazýva neorientovaný, inak - riadený. Dvojice sa nazývajú oblúky (hrany) a prvky množiny G- vrcholy grafu.

Teda algebraické alebo transcendentálne.

Presne povedané, spočítateľná množina je istá idealizácia, ktorá sa nedá prakticky realizovať pre konečnú veľkosť technických systémov a limity ľudského vnímania. Takéto idealizované modely (napríklad množina prirodzených čísel N=(1, 2,...)) má zmysel zaviesť pre množiny, ktoré sú konečné, ale s predbežne neobmedzeným (alebo neznámym) počtom prvkov.

Formálne je pojem operácia špeciálnym prípadom pojmu vzťahu medzi prvkami množín. Napríklad operácia sčítania dvoch čísel špecifikuje 3-miestny (ternárny) vzťah R: tri čísla (x, y, z) z) patrí do vzťahu R(píšeme (x,y,z)), ak z = x+y.

Komplexné číslo, argument polynómov A(), IN().

Tento predpoklad sa v praxi často spĺňa.

Ak množstvo nie je známe, malo by sa nahradiť v (2.33) odhadom kde V tomto prípade už množstvo nebude rozdelené normálne, ale podľa Studentovho zákona, ktorý je prakticky nerozoznateľný od normálneho.

Je ľahké vidieť, že (2.34) je špeciálny prípad (2.32), keď vezmeme, ak udalosť A vošiel j- m experiment, inak. V čom

A dnes môžete pridať „... a informatika“ (poznámka autora).

1. Deterministické a pravdepodobnostné matematické modely v ekonómii. Výhody a nevýhody

Metódy štúdia ekonomických procesov sú založené na použití matematicko – deterministických a pravdepodobnostných – modelov reprezentujúcich proces, systém alebo typ skúmanej činnosti. Takéto modely poskytujú kvantitatívny popis problému a slúžia ako základ pre rozhodovanie manažmentu pri hľadaní optimálnej možnosti. Nakoľko sú tieto rozhodnutia opodstatnené, či sú najlepšie možné, sú zohľadnené a zvážené všetky faktory, ktoré určujú optimálne riešenie, aké je kritérium na určenie toho, že toto riešenie je skutočne najlepšie – to je okruh otázok, ktoré veľký význam pre výrobných manažérov a odpoveď na ňu možno nájsť pomocou metód operačného výskumu [Chesnokov S.V. Deterministická analýza sociálno-ekonomických údajov. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Jedným z princípov formovania riadiaceho systému je metóda kybernetických (matematických) modelov. Matematické modelovanie zaujíma medzipolohu medzi experimentom a teóriou: nie je potrebné vytvárať skutočný fyzikálny model systému, nahradí ho matematický model. Osobitosť vzniku riadiaceho systému spočíva v pravdepodobnostnom, štatistickom prístupe k procesom riadenia. V kybernetike sa uznáva, že každý riadiaci proces podlieha náhodným, rušivým vplyvom. Výrobný proces je teda ovplyvňovaný veľkým množstvom faktorov, ktoré nemožno deterministicky brať do úvahy. Preto sa proces výroby považuje za ovplyvnený náhodnými signálmi. Z tohto dôvodu môže byť podnikové plánovanie iba pravdepodobnostné.

Z týchto dôvodov, keď hovoríme o matematickom modelovaní ekonomických procesov, majú často na mysli pravdepodobnostné modely.

Opíšme každý typ matematického modelu.

Deterministické matematické modely sú charakteristické tým, že vzťah niektorých faktorov s efektívnym ukazovateľom opisujú ako funkčnú závislosť, t.j. v deterministických modeloch je efektívny ukazovateľ modelu prezentovaný vo forme súčinu, kvocientu, algebraického modelu. súčet faktorov, alebo vo forme akejkoľvek inej funkcie. Tento typ matematických modelov je najbežnejší, pretože je pomerne jednoduchý na používanie (v porovnaní s pravdepodobnostnými modelmi) umožňuje pochopiť logiku pôsobenia hlavných faktorov vo vývoji ekonomického procesu, kvantifikovať ich vplyv, pochopiť, ktoré faktory a v akom pomere je možné a vhodné zmeniť na zvýšenie efektívnosti výroby.

Pravdepodobnostné matematické modely sa zásadne líšia od deterministických v tom, že v pravdepodobnostných modeloch je vzťah medzi faktormi a výsledným atribútom pravdepodobnostný (stochastický): pri funkčnej závislosti (deterministické modely) rovnaký stav faktorov zodpovedá jedinému stavu výsledného atribút, pričom v pravdepodobnostných modeloch jeden a ten istý stav faktorov zodpovedá celému súboru stavov výsledného atribútu [Tolstova Yu. N. Logika matematickej analýzy ekonomických procesov. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Výhodou deterministických modelov je ich jednoduché použitie. Hlavnou nevýhodou je nízka primeranosť reality, keďže, ako bolo uvedené vyššie, väčšina ekonomických procesov má pravdepodobnostný charakter.

Výhodou pravdepodobnostných modelov je, že sú spravidla viac v súlade s realitou (adekvátnejšie) ako deterministické. Nevýhodou pravdepodobnostných modelov je však zložitosť a pracovná náročnosť ich aplikácie, preto sa v mnohých situáciách stačí obmedziť na deterministické modely.

Prvýkrát formulácia úlohy lineárneho programovania vo forme návrhu na zostavenie optimálneho plánu dopravy; umožňujúci minimalizovať celkový počet najazdených kilometrov bol uvedený v práci sovietskeho ekonóma A. N. Tolstého v roku 1930.

Systematické štúdium problémov lineárneho programovania a vývoj všeobecných metód na ich riešenie sa ďalej rozvíjali v prácach ruských matematikov L. V. Kantoroviča, V. S. Nemčinova a ďalších matematikov a ekonómov. Metódam lineárneho programovania sa venuje aj veľa prác zahraničných a predovšetkým amerických vedcov.

Problém lineárneho programovania je maximalizovať (minimalizovať) lineárnu funkciu.

pod obmedzeniami

a všetko

Komentujte. Nerovnosti môžu mať aj opačný význam. Vynásobením príslušných nerovností (-1) je možné vždy získať systém tvaru (*).

Ak je počet premenných v systéme obmedzení a cieľovej funkcie v matematickom modeli úlohy 2, potom sa to dá riešiť graficky.

Takže musíme maximalizovať funkciu

Vráťme sa k jednej z nerovností systému obmedzení.

Z geometrického hľadiska musia všetky body vyhovujúce tejto nerovnosti ležať na priamke

Poznámka 2. Ak

Podmienky pre nezápornosť

V týchto konštrukciách budeme pokračovať, kým čiara neprejde posledným vrcholom polygónu riešenia. Tento bod určuje optimálnu hodnotu.

Takže hľadanie riešenia problému lineárneho programovania pomocou geometrickej metódy zahŕňa nasledujúce kroky:

Zostrojujú sa čiary, ktorých rovnice sa získajú nahradením znakov nerovnosti v obmedzeniach presnými znakmi rovnosti.

Nájdite polroviny definované každým z obmedzení problému.

Nájdite mnohouholník riešenia.

Zostavte vektor

Vytvorte priamku

Zostrojte rovnobežné čiary

Určia sa súradnice maximálneho (minimálneho) bodu funkcie a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie v tomto bode.

Problém racionálnej výživy (problém s prídelom potravín)

Formulácia problému

Farma vykrmuje hospodárske zvieratá na komerčné účely. Pre jednoduchosť predpokladajme, že existujú iba štyri typy produktov: P1, P2, P3, P4; Jednotkové náklady každého produktu sa rovnajú C1, C2, C3, C4. Z týchto produktov musíte vytvoriť stravu, ktorá musí obsahovať: bielkoviny - najmenej b1 jednotiek; uhľohydráty - najmenej b2 jednotky; tuk - najmenej b3 jednotky. Pre produkty P1, P2, P3, P4 je obsah bielkovín, sacharidov a tukov (v jednotkách na jednotku produktu) známy a špecifikovaný v tabuľke, kde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - niektoré špecifické čísla; prvý index označuje číslo produktu, druhý - číslo prvku (bielkoviny, sacharidy, tuky).

Predchádzajúce Ďalšie

Funkčná oddelenie

Funkčná departmentalizácia je proces rozdelenia organizácie na samostatné jednotky, z ktorých každá má jasne definované funkcie a zodpovednosti. Typické je skôr pre nízkoproduktové oblasti činnosti: pre...

Efektívna kontrola

Kontrola musí byť včasná a flexibilná, zameraná na riešenie úloh stanovených organizáciou a im zodpovedajúca. Kontinuitu kontroly môže zabezpečiť špeciálne vyvinutý systém sledovania priebehu implementácie...

Faktory prispievajúce k rozvoju efektívnych rozhodnutí strategického manažmentu.

Analýza bezprostredného prostredia organizácie zahŕňa v prvom rade analýzu faktorov, akými sú zákazníci, dodávatelia, konkurencia a trh práce. Pri analýze vnútorného prostredia je hlavná pozornosť venovaná personálnym...

Spracovanie údajov z vyšetrenia

Vypracovanie scenárov možného vývoja situácie si vyžaduje vhodné spracovanie údajov vrátane matematického spracovania. Povinné spracovanie údajov získaných od odborníkov sa vyžaduje najmä pri kolektívnom skúmaní, keď...

Vonkajšie vzťahy s verejnosťou

Tradičný projektový manažment je dlhodobo založený na klasickom vstupno-procesno-výstupnom modeli so spätnou väzbou na riadenie výstupu. Dynamickí lídri tiež zistili, že otvorenie komunikačných línií v oboch smeroch vytvára silný...

Inovačná stratégia

Vysoká miera konkurencie na drvivej väčšine moderných odbytových trhov zvyšuje intenzitu konkurencie, v ktorej je ten, kto môže spotrebiteľovi ponúknuť vyspelejšie produkty, doplnkové...

Rozdiely medzi vyznávanými a hlboko zakorenenými záujmami

Za hlavný motív vedúci k vytvoreniu organizácie sa často považuje zisk. Je to však jediný záujem? V niektorých prípadoch sú pre šéfa organizácie nemenej dôležité...

Generalizovaná lineárna testovacia metóda

Jednou zo široko používaných metód porovnávacieho hodnotenia multikriteriálnych objektov pre prijímanie manažérskych rozhodnutí v manažérskej praxi je metóda zovšeobecnených lineárnych kritérií. Táto metóda zahŕňa určenie hmotnosti...

Expertné krivky

Expertné krivky odrážajú posúdenie dynamiky predpovedaných hodnôt ukazovateľov a parametrov odborníkmi. Formovaním expertných kriviek odborníci určujú kritické body, v ktorých sa trend zmien hodnôt predpovedaných ukazovateľov a...

Podpora procesov riadenia

Keď manažér riadiaci oddelenie organizácie alebo organizácie ako celku čelí záplave problémov, ktoré si vyžadujú včasné a efektívne rozhodnutia, situácia sa stáva zložitejšou. Manažér musí...

Metóda interakčnej matice

Metóda matíc vzájomného vplyvu, ktorú vyvinuli Gordon a Helmer, spočíva v určovaní na základe odborných posudkov potenciálneho vzájomného ovplyvňovania udalostí v uvažovanej populácii. Odhady vzťahujúce sa na všetky možné kombinácie udalostí podľa...

Vypracovanie scenárov možného vývoja situácie

Vývoj scenárov začína zmysluplným popisom a definovaním zoznamu najpravdepodobnejších scenárov vývoja situácie. Na vyriešenie tohto problému je možné použiť metódu brainstormingu...

Organizácia siete

Zvyšujúca sa nestabilita vonkajšieho prostredia a tvrdá konkurencia na odbytových trhoch, potreba dosť rýchlej obmeny (v priemere 5 rokov) generácií vyrábaných produktov, informačná a počítačová revolúcia, ktorá mala výrazný vplyv...

Efektívny vodca

Efektívny líder musí preukázať kompetenciu v schopnosti riešiť vznikajúce problémy strategického a taktického charakteru, v plánovaní, finančnom riadení a kontrole, medziľudskej komunikácii, profesionálnom rozvoji a...

Podpora zdrojov

Poskytovanie zdrojov zohráva osobitnú úlohu pri určovaní cieľov, ktorým organizácia čelí, ako aj úloh a úloh na dosiahnutie cieľov. Zároveň pri formovaní stratégie a...

Štruktúra systému personálneho manažmentu

Delegovanie väčšieho množstva právomocí znamená aj väčšiu zodpovednosť pre každého zamestnanca na jeho pracovisku. V takýchto podmienkach sa čoraz väčší význam pripisuje systémom stimulácie a motivácie aktivít...

Umenie rozhodovania

V záverečnej fáze sa umenie rozhodovať stáva rozhodujúcim. Netreba však zabúdať, že vynikajúci umelec tvorí svoje diela na základe brilantne vycibrenej a dokonalej techniky....

Multikriteriálne hodnotenie, požiadavky na systémy kritérií

Pri vývoji manažérskych rozhodnutí je dôležité správne posúdiť narušenú situáciu a alternatívne riešenia s cieľom vybrať najefektívnejšie riešenie, ktoré spĺňa ciele organizácie a rozhodovateľa. Správne hodnotenie...

Rozhodnutia v podmienkach neistoty a rizika

Keďže, ako už bolo spomenuté vyššie, rozhodovací proces je vždy spojený s tým či oným predpokladom manažéra o predpokladanom vývoji udalostí a prijaté rozhodnutie smeruje do budúcnosti, je...

Všeobecné pravidlá, podľa ktorých možno porovnávať predmety skúmania, charakterizujú...

Alternatívna možnosť (objekt) a je nedominovaná, ak neexistuje alternatívna možnosť o, ktorá je nadradená (nie nižšia) ako a. pre všetky zložky (konkrétne kritériá). Prirodzene, najvýhodnejšie spomedzi porovnávaných...

Fayolove predstavy o riadení organizácie

Významný prelom vo vede o manažmente je spojený s prácou Henriho Fayola (1841 -1925). Fayol viedol 30 rokov veľkú francúzsku hutnícku a ťažobnú spoločnosť. Prijal...

Princíp zohľadňovania a koordinácie vonkajších a vnútorných faktorov rozvoja organizácie

Rozvoj organizácie určujú vonkajšie aj vnútorné faktory. Strategické rozhodnutia prijímané na základe zohľadnenia vplyvu iba vonkajších alebo iba vnútorných faktorov budú nevyhnutne trpieť nedostatočnou...

Vznik vedy o manažérskom rozhodovaní a jej vzťah k iným manažérskym vedám

Rozvoj manažérskych rozhodnutí je dôležitý proces, ktorý spája hlavné funkcie manažmentu: plánovanie, organizácia, motivácia, kontrola. Sú to rozhodnutia vedúcich predstaviteľov akejkoľvek organizácie, ktoré určujú nielen efektivitu jej aktivít, ale...

Vytvorenie zoznamu kritérií charakterizujúcich predmet prijímania manažérskeho rozhodnutia

Zoznam kritérií charakterizujúcich komparatívnu preferenciu objektov na prijímanie manažérskych rozhodnutí musí spĺňať množstvo prirodzených požiadaviek. Ako už bolo spomenuté vyššie, samotný pojem kritérium úzko súvisí s...

Hlavné pravidlo delegovania právomoci

Chceme zdôrazniť dôležité pravidlo, ktoré treba pri delegovaní právomocí dodržiavať. Delegovaná pôsobnosť, ako aj úlohy zverené zamestnancovi musia byť jasne definované a jednoznačné...

Hlavným účelom skriptu je poskytnúť kľúč k pochopeniu problému.

Pri analýze konkrétnej situácie nadobúdajú premenné, ktoré ju charakterizujú, zodpovedajúce hodnoty - určité stupne verbálno-numerických škál, každá z premenných. Všetky hodnoty párových interakcií medzi...

Etapa operatívneho riadenia realizácie prijatých rozhodnutí a plánov

Po etape prenosu informácií o prijatých rozhodnutiach a ich schválení začína etapa operatívneho riadenia implementácie rozhodnutí a plánov. V tejto fáze sa sleduje pokrok...

Klasifikácia hlavných prognostických metód

Technologické prognózovanie sa delí na prieskumné (niekedy nazývané aj vyhľadávanie) a normatívne. Základom exploratívneho prognózovania je orientácia na prezentovanie príležitostí, stanovenie trendov vo vývoji situácií v...

Výstavba hrádze pre nádrž

Pred niekoľkými rokmi sa známa stavebná spoločnosť snažila poskytnúť potrebné zázemie pre projekt Main Retention Dam v Biháre v Indii. Pri tom...

Samozrejme, každý podnikateľ sa pri plánovaní výroby snaží o to, aby bola zisková a prinášala zisk. Ak je podiel nákladov relatívne veľký, potom môžeme hovoriť o ziskových aktivitách organizácie...

Predchádzajúce Ďalšie

Technické systémy. Parametre technických objektov sú pohyblivé objekty, energetické objekty, objekty chemického priemyslu, strojárske objekty, domáce spotrebiče a mnohé iné. Objekty technických systémov sú dobre študované v teórii riadenia.

Ekonomické objekty. Hospodárske objekty sú: dielňa, závod, podniky rôznych odvetví. Jednou z premenných v nich sú ekonomické ukazovatele – napríklad zisk.

Biologické systémy. Živé systémy si zachovávajú svoje životné funkcie vďaka kontrolným mechanizmom, ktoré sú v nich zabudované.

Deterministické a stochastické systémy

Ak vonkajšie vplyvy pôsobiace na systém (riadiace a rušivé) sú určitými známymi funkciami času u=f(t). V tomto prípade stav systému opísaný obyčajnými diferenciálnymi rovnicami v ľubovoľnom čase t možno jednoznačne opísať stavom systému v predchádzajúcom časovom bode. Systémy, pre ktoré je stav systému jednoznačne určený počiatočnými hodnotami a možno ho predpovedať v akomkoľvek okamihu, sa nazývajú deterministické.

Stochastické systémy sú systémy, v ktorých sú zmeny svojou povahou náhodné. Napríklad vplyv na energetický systém rôznych používateľov. Pri náhodných vplyvoch údaje o stave systému nestačia na predpovedanie v nasledujúcom časovom bode.

Náhodné vplyvy môžu byť aplikované na systém zvonku, alebo môžu vzniknúť vo vnútri niektorých prvkov (vnútorný hluk). Štúdium systémov v prítomnosti náhodných vplyvov sa môže uskutočniť pomocou konvenčných metód, pričom sa minimalizuje krok modelovania, aby sa nepremeškal vplyv náhodných parametrov. Navyše, keďže maximálna hodnota náhodnej premennej je zriedkavá (v technológii prevláda normálne rozdelenie), výber minimálneho kroku vo väčšine časových bodov nebude opodstatnený.

V drvivej väčšine prípadov pri navrhovaní systémov nejde o maximálnu, ale o najpravdepodobnejšiu hodnotu náhodného parametra. V tomto prípade sa naučí racionálnejší systém, ktorý vopred predvída zhoršenie výkonu systému v určitých časových obdobiach. Napríklad inštalácia katódovej ochrany.

Výpočet systémov pod náhodnými vplyvmi sa vykonáva pomocou špeciálnych štatistických metód. Zavádzajú sa odhady náhodných parametrov na základe mnohých testov. Napríklad povrchová mapa hladiny podzemnej vody v Petrohrade.

Štatistické vlastnosti náhodnej premennej sú určené jej distribučnou funkciou alebo hustotou pravdepodobnosti.

Otvorené a uzavreté systémy

Koncept otvoreného systému zaviedol L. von Bertalanffy. Hlavnými charakteristickými znakmi otvorených systémov je schopnosť vymieňať si energiu a informácie s vonkajším prostredím. Uzavreté (uzavreté) systémy sú izolované od vonkajšieho prostredia (s presnosťou akceptovanou v modeli).

Dobré a zlé systémy

Dobre organizované systémy. Prezentovať analyzovaný objekt alebo proces vo forme „dobre organizovaného systému“ znamená určiť prvky systému, ich vzájomné vzťahy, pravidlá spájania do väčších komponentov, t.j. určiť súvislosti medzi všetkými komponentmi a cieľmi systému. systém, z hľadiska ktorého je objekt posudzovaný alebo kvôli ktorému je systém vytvorený. Problémovú situáciu možno opísať vo forme matematického výrazu spájajúceho cieľ s prostriedkami, t. j. vo forme kritéria účinnosti, kritéria fungovania systému, ktoré môže byť reprezentované zložitou rovnicou alebo sústavou rovnice. Riešenie problému, ak je prezentované vo forme dobre organizovaného systému, sa uskutočňuje analytickými metódami formalizovanej reprezentácie systému.

Príklady dobre organizovaných systémov: slnečná sústava, ktorá opisuje najvýznamnejšie vzorce pohybu planét okolo Slnka; zobrazenie atómu ako planetárneho systému pozostávajúceho z jadra a elektrónov; opis činnosti zložitého elektronického zariadenia pomocou systému rovníc, ktorý zohľadňuje zvláštnosti jeho prevádzkových podmienok (prítomnosť hluku, nestabilita napájacích zdrojov atď.).

Pre zobrazenie objektu vo forme dobre organizovaného systému je potrebné zvýrazniť komponenty, ktoré sú podstatné a nebrať do úvahy tie, ktoré sú pre tento účel relatívne nepodstatné: napríklad pri uvažovaní o slnečnej sústave, neberú do úvahy meteority, asteroidy a iné prvky medziplanetárneho priestoru, ktoré sú v porovnaní s planétami malé.

Popis objektu vo forme dobre organizovaného systému sa používa v prípadoch, keď je možné ponúknuť deterministický popis a experimentálne dokázať oprávnenosť jeho aplikácie a adekvátnosť modelu k reálnemu procesu. Pokusy aplikovať triedu dobre organizovaných systémov na reprezentáciu zložitých viaczložkových objektov alebo multikriteriálnych problémov nie sú úspešné: vyžadujú si neprijateľne veľa času, prakticky sa nedajú implementovať a sú neadekvátne použitým modelom.

Zle organizované systémy. Pri prezentovaní objektu ako „zle organizovaného alebo rozptýleného systému“ úlohou nie je určiť všetky komponenty, ktoré sa berú do úvahy, ich vlastnosti a súvislosti medzi nimi a cieľmi systému. Systém je charakterizovaný určitým súborom makroparametrov a vzorov, ktoré sa nachádzajú na základe štúdia nie celého objektu alebo triedy javov, ale na základe určitých pravidiel pre výber komponentov, ktoré charakterizujú objekt alebo proces. v štúdiu. Na základe takejto vzorovej štúdie sa získajú charakteristiky alebo vzory (štatistické, ekonomické) a rozdelia sa do celého systému ako celku. V tomto prípade sa urobia príslušné výhrady. Napríklad, keď sa získajú štatistické zákonitosti, rozšíria sa na správanie celého systému s určitou pravdepodobnosťou spoľahlivosti.

Prístup k zobrazovaniu objektov vo forme difúznych systémov je široko používaný pri: popisovaní systémov radenia, určovaní počtu zamestnancov v podnikoch a inštitúciách, štúdiu dokumentárnych informačných tokov v systémoch riadenia atď.

Samoorganizujúce sa systémy. Zobrazenie objektu ako samoorganizujúceho sa systému je prístup, ktorý vám umožňuje preskúmať najmenej študované objekty a procesy. Samoorganizujúce sa systémy majú vlastnosti difúznych systémov: stochastické správanie, nestacionárnosť jednotlivých parametrov a procesov. K tomu sa pridávajú znaky ako nepredvídateľnosť správania; schopnosť prispôsobiť sa meniacim sa podmienkam prostredia, zmeniť štruktúru pri interakcii systému s prostredím pri zachovaní vlastností integrity; schopnosť formovať možné varianty správania a vybrať si z nich tú najlepšiu atď. Niekedy sa táto trieda delí na podtriedy, zvýrazňujúce adaptívne alebo samonastavovacie systémy, samoliečiace, samoreprodukujúce a iné podtriedy zodpovedajúce rôznym vlastnostiam vyvíjajúcich sa systémov .

Príklady: biologické organizácie, kolektívne správanie ľudí, organizácia riadenia na úrovni podniku, priemyslu, štátu ako celku, t.j. v tých systémoch, kde nevyhnutne existuje ľudský faktor.

Pri použití mapovania objektu vo forme samoorganizačného systému sú úlohy určovania cieľov a výberu prostriedkov zvyčajne oddelené. V tomto prípade môže byť úloha výberu cieľov zase opísaná vo forme samoorganizačného systému, t.j. štruktúra funkčnej časti automatizovaného riadiaceho systému, štruktúra cieľov, plán môže byť porušený. nadol rovnako ako štruktúra nosnej časti automatizovaného riadiaceho systému (komplex technických prostriedkov automatizovaného riadiaceho systému) alebo organizačná štruktúra systému riadenia.

Väčšina príkladov aplikácie systémovej analýzy je založená na reprezentácii objektov vo forme samoorganizujúcich sa systémov.