Fraktál s geometrickým obrazcom. Laboratórium vesmírneho výskumu

Ako sa ukázalo v posledných desaťročiach (v súvislosti s rozvojom teórie sebaorganizácie), sebapodobnosť nachádzame v širokej škále predmetov a javov. Sebapodobnosť možno pozorovať napríklad vo vetvách stromov a kríkov, pri delení oplodnenej zygoty, snehových vločkách, ľadových kryštáloch, pri vývoji ekonomických systémov, v štruktúre horských systémov a oblakov.

Všetky uvedené objekty a iné im podobné majú fraktálnu štruktúru. To znamená, že majú vlastnosti sebapodobnosti alebo invariantnosti mierky. To znamená, že niektoré fragmenty ich štruktúry sa v určitých priestorových intervaloch striktne opakujú. Je zrejmé, že tieto predmety môžu byť akéhokoľvek charakteru a ich vzhľad a tvar zostávajú nezmenené bez ohľadu na mierku. V prírode aj v spoločnosti sa sebaopakovanie vyskytuje v pomerne veľkom rozsahu. Oblak teda opakuje svoju členitú štruktúru od 10 4 m (10 km) do 10 -4 m (0,1 mm). Vetvenie sa opakuje na stromoch od 10 -2 do 10 2 m. Zrútené materiály, ktoré vytvárajú trhliny, tiež opakujú svoju samopodobnosť na niekoľkých mierkach. Snehová vločka, ktorá vám padne na ruku, sa roztopí. Počas obdobia topenia, prechodu z jednej fázy do druhej, je kvapka snehovej vločky tiež fraktálom.

Fraktál je objekt nekonečnej zložitosti, ktorý vám umožňuje vidieť o nič menej detailov zblízka ako z diaľky. Klasickým príkladom je Zem. Z vesmíru to vyzerá ako lopta. Keď sa k nemu priblížime, objavíme oceány, kontinenty, pobrežia a pohoria. Neskôr sa objavia jemnejšie detaily: kus zeme na povrchu hory, zložitý a nerovný ako samotná hora. Potom sa objavia drobné čiastočky pôdy, z ktorých každá je sama o sebe fraktálnym objektom

Fraktál je nelineárna štruktúra, ktorá si zachováva sebapodobnosť, keď sa nekonečne zväčšuje alebo znižuje. Len pri krátkych dĺžkach sa nelinearita transformuje na linearitu. Zvlášť zreteľne sa to prejavuje v matematickom postupe diferenciácie.

Môžeme teda povedať, že fraktály ako modely sa používajú v prípade, keď reálny objekt nemožno reprezentovať vo forme klasických modelov. To znamená, že máme do činenia s nelineárnymi vzťahmi a nedeterministickým charakterom údajov. Nelinearita v ideologickom zmysle znamená mnohorozmerné vývojové cesty, prítomnosť výberu z alternatívnych ciest a určité tempo evolúcie, ako aj nezvratnosť evolučných procesov. V matematickom zmysle je nelinearita určitý typ matematických rovníc (nelineárnych diferenciálnych rovníc), ktoré obsahujú požadované veličiny v mocninách väčších ako jedna alebo koeficientoch v závislosti od vlastností média. To znamená, že keď aplikujeme klasické modely (napríklad trend, regresia atď.), hovoríme, že budúcnosť objektu je jednoznačne určená. A vieme to predpovedať tak, že poznáme minulosť objektu (počiatočné dáta pre modelovanie). A fraktály sa používajú v prípade, keď má objekt viacero možností rozvoja a stav systému je daný pozíciou, v ktorej sa práve nachádza. To znamená, že sa snažíme simulovať chaotický vývoj.

Keď hovoria o determinizme určitého systému, majú na mysli, že jeho správanie sa vyznačuje jednoznačným vzťahom príčiny a následku. To znamená, že ak poznáte počiatočné podmienky a zákon pohybu systému, môžete presne predpovedať jeho budúcnosť. Práve táto myšlienka pohybu vo vesmíre je charakteristická pre klasickú, newtonovskú dynamiku. Chaos naopak znamená neusporiadaný, náhodný proces, keď priebeh udalostí nemožno predvídať ani reprodukovať.

Chaos je generovaný vlastnou dynamikou nelineárneho systému – jeho schopnosťou exponenciálne rýchlo oddeľovať ľubovoľne blízke trajektórie. V dôsledku toho tvar trajektórií veľmi závisí od počiatočných podmienok. Pri štúdiu systémov, ktoré sa na prvý pohľad chaoticky vyvíjajú, sa často využíva teória fraktálov, pretože Práve tento prístup nám umožňuje vidieť určitý vzorec vo výskyte „náhodných“ odchýlok vo vývoji systému.

Štúdium prírodných fraktálových štruktúr nám dáva možnosť lepšie pochopiť procesy samoorganizácie a vývoja nelineárnych systémov. Už sme zistili, že prírodné fraktály rôznych, kľukatých čiar sa nachádzajú všade okolo nás. Ide o morské pobrežie, stromy, oblaky, úder blesku, kovovú konštrukciu, ľudský nervový či cievny systém. Tieto zložité línie a drsné povrchy sa dostali do pozornosti vedeckého výskumu, pretože príroda nám ukázala úplne inú úroveň zložitosti ako v ideálnych geometrických systémoch. Študované štruktúry sa ukázali byť sebepodobné z časopriestorového hľadiska. Donekonečna sa rozmnožovali a opakovali v rôznych dĺžkach a časových mierkach. Akýkoľvek nelineárny proces v konečnom dôsledku vedie k rozvetveniu. V tomto prípade si systém v bode rozvetvenia vyberie jednu alebo druhú cestu. Trajektória vývoja systému bude vyzerať ako fraktál, teda prerušovaná čiara, ktorej tvar možno opísať ako rozvetvenú, zložitú cestu, ktorá má svoju logiku a vzor.

Vetvenie systému možno prirovnať k vetveniu stromu, kde každá vetva zodpovedá tretine celého systému. Vetvenie umožňuje lineárnej štruktúre vyplniť objemový priestor, alebo presnejšie povedané: fraktálna štruktúra koordinuje rôzne priestory. Fraktál môže rásť a vypĺňať okolitý priestor, rovnako ako kryštál rastie v presýtenom roztoku. V tomto prípade bude povaha vetvenia spojená nie s náhodou, ale s určitým vzorom.

Fraktálna štruktúra sa podobne opakuje aj na iných úrovniach, na vyššej úrovni organizácie ľudského života, napríklad na úrovni sebaorganizácie skupiny alebo tímu. Samoorganizácia sietí a foriem prechádza z mikroúrovne na makroúroveň. Spolu predstavujú integrálnu jednotu, kde celok možno posudzovať podľa časti. Táto práca v kurze ako príklad skúma fraktálne vlastnosti sociálnych procesov, čo naznačuje univerzálnosť teórie fraktálov a jej lojalitu k rôznym oblastiam vedy.

Dospelo sa k záveru, že fraktál je spôsob organizovanej interakcie priestorov rôznych rozmerov a povahy. K vyššie uvedenému treba dodať, že nielen priestorové, ale aj časové. Potom dokonca aj ľudský mozog a neurónové siete budú predstavovať fraktálnu štruktúru.

Príroda miluje fraktálne formy. Fraktálny objekt má rozširujúcu sa vybitú štruktúru. Pri pozorovaní takýchto objektov so zvyšujúcim sa zväčšením je možné vidieť, že vykazujú vzor, ktorý sa opakuje na rôznych úrovniach. Už sme si povedali, že fraktálny objekt môže vyzerať úplne rovnako bez ohľadu na to, či ho pozorujeme v metrovej, milimetrovej alebo mikrónovej mierke (1:1 000 000 zlomkov metrovej mierky). Vlastnosť symetrie fraktálnych objektov sa prejavuje invariantnosťou vzhľadom na mierku. Fraktály sú symetrické okolo stredu natiahnutia alebo škálovania, rovnako ako okrúhle telesá sú symetrické okolo osi rotácie.

Obľúbeným obrazom nelineárnej dynamiky sú fraktálne štruktúry, v ktorých je pri zmene mierky popis zostavený podľa rovnakého pravidla. V reálnom živote je implementácia tohto princípu možná s malými obmenami. Napríklad vo fyzike sa pri prechode z úrovne na úroveň (od atómových k jadrovým procesom, od jadra k elementárnym časticiam) menia vzory, modely a spôsoby opisu. To isté pozorujeme v biológii (úroveň populácie organizmu, tkaniva, bunky atď.) Budúcnosť synergetiky závisí od toho, do akej miery môže nelineárna veda pomôcť pri popisovaní tejto štruktúrnej heterogenity a rôznych „medziúrovňových“ javov. V súčasnosti väčšina vedných odborov nemá spoľahlivé fraktálne konceptuálne modely.

V súčasnosti sa vývoj v rámci teórie fraktálov uskutočňuje v akejkoľvek špeciálnej vede - fyzike, sociológii, psychológii, lingvistike atď. Potom spoločnosť, sociálne inštitúcie, jazyk a dokonca aj myslenie sú fraktály.

V diskusiách, ktoré sa v posledných rokoch rozvinuli medzi vedcami a filozofmi o koncepte fraktálov, je najkontroverznejšia otázka: je možné hovoriť o univerzálnosti fraktálov, že každý prírodný objekt obsahuje fraktál alebo prechádza cez fraktál? etapa? Na túto otázku odpovedajú dve skupiny vedcov presne opačne. Prvá skupina („radikáli“, inovátori) podporuje tézu o univerzálnosti fraktálov. Druhá skupina („konzervatívci“) túto tézu popiera, no stále tvrdí, že nie každý objekt prírody má fraktál, ale v každej oblasti prírody sa fraktál nájde.

Moderná veda celkom úspešne adaptovala teóriu fraktálov pre rôzne oblasti poznania. V ekonómii sa teda teória fraktálov využíva pri technickej analýze finančných trhov, ktoré vo vyspelých krajinách sveta existujú už stovky rokov. Prvýkrát je možné predpovedať budúce správanie cien akcií, ak je známy ich smer pre nejaké posledné obdobie, poznamenal C. Dow. V deväťdesiatych rokoch 19. storočia Dow po publikovaní množstva článkov poznamenal, že ceny akcií podliehajú cyklickým výkyvom: po dlhom raste nasleduje dlhý pád, potom opäť stúpa a klesá.

V polovici 20. storočia, keď celý vedecký svet uchvátila novovznikajúca teória fraktálov, ďalší slávny americký finančník R. Elliot navrhol svoju teóriu správania sa cien akcií, ktorá bola založená na využití teórie tzv. fraktály. Elliott vychádzal z toho, že geometria fraktálov sa vyskytuje nielen v živej prírode, ale aj v spoločenských procesoch. Do spoločenského procesu zaradil aj obchodovanie s akciami na burze.

Základom teórie je takzvaný vlnový diagram. Táto teória umožňuje predpovedať ďalšie správanie cenového trendu na základe poznania pozadia jeho správania a dodržiavania pravidiel pre rozvoj masového psychologického správania.

Teória fraktálov našla uplatnenie aj v biológii. Mnohé, ak nie všetky, biologické štruktúry a systémy rastlín, zvierat a ľudí majú fraktálovú povahu, do istej miery sa jej podobajú: nervový systém, pľúcny systém, obehový a lymfatický systém atď. Objavili sa dôkazy, že aj vznik zhubného nádoru sa riadi fraktálovým princípom. Berúc do úvahy princíp sebaafinity a kongruencie fraktálu, možno vysvetliť množstvo neriešiteľných problémov vo vývoji organického sveta. Fraktálne objekty sa vyznačujú aj takou črtou, akou je prejav komplementarity. Komplementárnosť v biochémii je vzájomná zhoda v chemickej štruktúre dvoch makromolekúl, zaisťujúca ich interakciu - párovanie dvoch reťazcov DNA, spojenie enzýmu so substrátom, antigénu s protilátkou. Doplnkové stavby do seba zapadajú ako kľúč od zámku (Encyklopédia Cyrila a Metoda). Túto vlastnosť majú polynukleotidové reťazce DNA.

Niektoré z najvýkonnejších aplikácií fraktálov spočívajú v počítačovej grafike. Po prvé ide o fraktálnu kompresiu obrázkov a po druhé o stavbu krajiny, stromov, rastlín a generovanie fraktálnych textúr. Súčasne je na kompresiu a záznam informácií potrebný podobný nárast fraktálu a na jeho prečítanie je potrebný podobný nárast.

Výhody algoritmov kompresie fraktálnych obrázkov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zbalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby spôsobovali pixelizáciu. Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých častí obrazu, ktoré sú podobné niektorým malým častiam. A vo výstupnom súbore sú zaznamenané iba informácie o podobnosti jednej časti s druhou. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová sieť (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková sieť túto nevýhodu nemá.

Medzi literárne diela patria tie, ktoré majú textovú, štrukturálnu alebo sémantickú fraktálnu povahu. Textové fraktály môžu donekonečna opakovať prvky textu. Textové fraktály zahŕňajú nevetvujúci nekonečný strom, identický so sebou samým v akejkoľvek iterácii („Kňaz mal psa...“, „Podobenstvo o filozofovi, ktorý sníva, že je motýľ, ktorý sníva, že ona je filozofka, ktorá sníva ...“, „Výrok je nepravdivý, že výrok je pravdivý, že výrok je nepravdivý...“); nerozvetvené nekonečné texty s variáciami („Peggy mala vtipnú hus…“) a texty s doplnkami („Dom, ktorý postavil Jack“).

V štrukturálnych fraktáloch je rozloženie textu potenciálne fraktálne. Texty s takouto štruktúrou sú usporiadané podľa týchto zásad: veniec zo sonetov (15 básní), veniec zo sonetových vencov (211 básní), veniec zo sonetových vencov (2455 básní); „príbehy v príbehu“ („Kniha tisíc a jednej noci“, J. Potocki „Rukopis nájdený v Zaragoze“); predslovy, ktoré skrývajú autorstvo (U. Eco „Meno ruže“).

Na prezentáciu celej škály fraktálov je vhodné uchýliť sa k ich všeobecne akceptovanej klasifikácii.

2.1 Geometrické fraktály

Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie. V dvojrozmernom prípade sa získajú pomocou nejakej prerušovanej čiary (alebo plochy v trojrozmernom prípade), tzv generátor. V jednom kroku algoritmu sa každý zo segmentov, ktoré tvoria lomenú čiaru, nahradí generátorovou líniou vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu sa získa geometrický fraktál.

Obr 1. Konštrukcia krivky Kochovej triády.

Zoberme si jeden z týchto fraktálnych objektov - triadickú Kochovu krivku. Konštrukcia krivky začína segmentom jednotkovej dĺžky (obr. 1) – ide o 0. generáciu Kochovej krivky. Ďalej je každý odkaz (jeden segment v nulovej generácii) nahradený formačný prvok 1, označený na obr n=1. V dôsledku tohto nahradenia sa získa ďalšia generácia Kochovej krivky. V 1. generácii je to krivka štyroch priamych článkov, každá dĺžka 1/3 . Na získanie 3. generácie sa vykonajú rovnaké akcie - každý článok je nahradený zmenšeným tvarovacím prvkom. Takže na získanie každej nasledujúcej generácie musia byť všetky články predchádzajúcej generácie nahradené redukovaným tvarovacím prvkom. Krivka n-th generácia pre akúkoľvek konečnú n volal prefraktálny. Obrázok 1 zobrazuje päť generácií krivky. O n Keď sa Kochova krivka blíži k nekonečnu, stáva sa z nej fraktálny objekt.

Obrázok 2. Konštrukcia „draka“ Harter-Haithway.

Ak chcete získať ďalší fraktálny objekt, musíte zmeniť pravidlá konštrukcie. Nech formovacím prvkom sú dva rovnaké segmenty spojené v pravých uhloch. V nultej generácii nahradíme jednotkový segment týmto generujúcim prvkom tak, aby bol uhol hore. Dá sa povedať, že pri takejto výmene dochádza k posunutiu stredu článku. Pri konštrukcii nasledujúcich generácií sa dodržiava pravidlo: úplne prvý článok vľavo sa nahradí tvarovacím prvkom tak, že stred článku sa posunie doľava od smeru pohybu a pri výmene nasledujúcich článkov sa smery posunutie stredov segmentov sa musí striedať. Obrázok 2 zobrazuje niekoľko prvých generácií a 11. generáciu krivky zostavenej podľa vyššie opísaného princípu. Limitná fraktálna krivka (at n tendencia k nekonečnu) sa nazýva Harter-Haithwayov drak .

V počítačovej grafike je použitie geometrických fraktálov nevyhnutné pri získavaní obrázkov stromov, kríkov a pobrežia. Dvojrozmerné geometrické fraktály sa používajú na vytváranie trojrozmerných textúr (vzorov na povrchu objektu).

2.2 Algebraické fraktály

Toto je najväčšia skupina fraktálov. Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Najviac študované sú dvojrozmerné procesy. Interpretáciou nelineárneho iteračného procesu ako diskrétneho dynamického systému je možné použiť terminológiu teórie týchto systémov: fázový portrét, stabilný proces, atraktor atď.

Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s bizarnými viacfarebnými vzormi. Prekvapením pre matematikov bola schopnosť vytvárať veľmi zložité netriviálne štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.

Obr 3. Mandelbrotova súprava.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu množinu (pozri obr. 3 a obr. 4). Algoritmus na jeho konštrukciu je pomerne jednoduchý a je založený na jednoduchom iteratívnom výraze:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

Kde Z ja a C- komplexné premenné. Pre každý počiatočný bod sa vykonávajú iterácie C obdĺžniková alebo štvorcová oblasť - podmnožina komplexnej roviny. Iteračný proces pokračuje až do Z[i] neprekročí kružnicu s polomerom 2, ktorej stred leží v bode (0,0), (to znamená, že atraktor dynamického systému je v nekonečne), alebo po dostatočne veľkom počte iterácií (napríklad 200 – 500) Z[i] bude konvergovať k nejakému bodu na kruhu. V závislosti od počtu iterácií, počas ktorých Z[i] zostal vo vnútri kruhu, môžete nastaviť farbu bodu C(Ak Z[i] zostane vo vnútri kruhu dostatočne veľký počet iterácií, proces iterácie sa zastaví a tento rastrový bod sa zafarbí na čierno).

Obr. 4. Rez hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.

Vyššie uvedený algoritmus poskytuje aproximáciu takzvanej Mandelbrotovej množiny. Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počas nekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body sú čierne). Body patriace hranici množiny (tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).

2.3 Stochastické fraktály

Ďalšou známou triedou fraktálov sú stochastické fraktály, ktoré sa získajú, ak sa niektoré jeho parametre náhodne zmenia v iteratívnom procese. V tomto prípade sú výsledné objekty veľmi podobné prírodným - asymetrické stromy, členité pobrežia atď. Dvojrozmerné stochastické fraktály sa používajú pri modelovaní terénu a morskej hladiny.

Existujú aj iné klasifikácie fraktálov, napríklad rozdelenie fraktálov na deterministické (algebraické a geometrické) a nedeterministické (stochastické).

Čo majú spoločné strom, morské pobrežie, oblak alebo krvné cievy v našej ruke? Na prvý pohľad sa môže zdať, že všetky tieto predmety nemajú nič spoločné. V skutočnosti však existuje jedna vlastnosť štruktúry, ktorá je vlastná všetkým uvedeným objektom: sú sebepodobné. Z konára, ako z kmeňa stromu, vybiehajú menšie výhonky, z nich ešte menšie atď., čiže konár je podobný celému stromu. Obehový systém je štruktúrovaný podobným spôsobom: arterioly odchádzajú z tepien az nich najmenšie kapiláry, ktorými kyslík vstupuje do orgánov a tkanív. Pozrime sa na satelitné snímky morského pobrežia: uvidíme zálivy a polostrovy; Pozrime sa na to, ale z vtáčej perspektívy: uvidíme zálivy a mysy; Teraz si predstavte, že stojíme na pláži a pozeráme sa na svoje nohy: vždy tu budú kamienky, ktoré budú vyčnievať ďalej do vody ako ostatné. To znamená, že pobrežie zostáva po priblížení podobné. Americký matematik (hoci vyrastal vo Francúzsku) Benoit Mandelbrot nazval túto vlastnosť objektov fraktálnosťou a takéto objekty samotné – fraktály (z latinského fractus – rozbité).

Tento pojem nemá striktnú definíciu. Preto slovo „fraktál“ nie je matematický pojem. Fraktál je zvyčajne geometrický útvar, ktorý spĺňa jednu alebo viacero z nasledujúcich vlastností: Má zložitú štruktúru pri akomkoľvek zväčšení mierky (na rozdiel napríklad od priamky, ktorej akákoľvek časť je najjednoduchším geometrickým útvarom - segmentom). ). Je (približne) sebepodobný. Má zlomkovú Hausdorffovu (fraktálnu) dimenziu, ktorá je väčšia ako topologická. Dá sa skonštruovať pomocou rekurzívnych postupov.

Geometria a algebra

Štúdium fraktálov na prelome 19. a 20. storočia bolo skôr epizodické ako systematické, pretože predtým matematici študovali najmä „dobré“ objekty, ktoré bolo možné študovať pomocou všeobecných metód a teórií. V roku 1872 skonštruoval nemecký matematik Karl Weierstrass príklad spojitej funkcie, ktorá nie je nikde diferencovateľná. Jeho konštrukcia však bola úplne abstraktná a ťažko pochopiteľná. Preto v roku 1904 prišiel Švéd Helge von Koch so súvislou krivkou, ktorá nikde nemá dotyčnicu a dá sa celkom ľahko nakresliť. Ukázalo sa, že má vlastnosti fraktálu. Jeden variant tejto krivky sa nazýva „Kochova snehová vločka“.

Myšlienky sebapodobnosti postáv zachytil Francúz Paul Pierre Levy, budúci mentor Benoita Mandelbrota. V roku 1938 vyšiel jeho článok „Rovinné a priestorové krivky a plochy pozostávajúce z častí podobných celku“, ktorý popisoval ďalší fraktál – Levyho C-krivku. Všetky tieto fraktály uvedené vyššie možno podmienečne klasifikovať ako jednu triedu konštruktívnych (geometrických) fraktálov.

Ďalšou triedou sú dynamické (algebraické) fraktály, medzi ktoré patrí Mandelbrotova množina. Prvý výskum v tomto smere sa začal začiatkom 20. storočia a spája sa s menami francúzskych matematikov Gastona Juliu a Pierra Fatoua. V roku 1918 vydala Julia takmer dvestostranovú spomienku na iterácie zložitých racionálnych funkcií, ktorá opísala Juliove množiny, celú rodinu fraktálov úzko súvisiacich s Mandelbrotovou množinou. Toto dielo bolo ocenené cenou Francúzskej akadémie, ale neobsahovalo ani jednu ilustráciu, takže nebolo možné oceniť krásu otvorených predmetov. Napriek tomu, že táto práca preslávila Juliu medzi vtedajšími matematikmi, rýchlo sa na ňu zabudlo. Pozornosť sa naň opäť obrátila až o polstoročie neskôr s príchodom počítačov: práve ony zviditeľnili bohatstvo a krásu sveta fraktálov.

Fraktálne rozmery

Ako viete, rozmer (počet rozmerov) geometrického útvaru je počet súradníc potrebných na určenie polohy bodu ležiaceho na tomto obrázku.
Napríklad poloha bodu na krivke je určená jednou súradnicou, na ploche (nie nevyhnutne rovine) dvoma súradnicami a v trojrozmernom priestore tromi súradnicami.
Zo všeobecnejšieho matematického hľadiska možno dimenziu definovať takto: zvýšenie lineárnych rozmerov, povedzme o faktor dva, pre jednorozmerné (z topologického hľadiska) objekty (segment) vedie k zväčšenie veľkosti (dĺžky) o faktor dva, pre dvojrozmerné (štvorec ) rovnaký nárast lineárnych rozmerov vedie k zväčšeniu veľkosti (plochy) 4-krát, pre trojrozmerné (kocka) - o 8 krát. To znamená, že „skutočnú“ (tzv. Hausdorffovu) dimenziu možno vypočítať ako pomer logaritmu nárastu „veľkosti“ objektu k logaritmu nárastu jeho lineárnej veľkosti. To znamená, že pre segment D=log (2)/log (2)=1, pre rovinu D=log (4)/log (2)=2, pre objem D=log (8)/log (2 )=3.
Vypočítajme teraz rozmer Kochovej krivky, na zostrojenie ktorej je jednotkový segment rozdelený na tri rovnaké časti a stredný interval je nahradený rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. Keď sa lineárne rozmery minimálneho segmentu zväčšia trikrát, dĺžka Kochovej krivky sa zväčší o log (4)/log (3) ~ 1,26. To znamená, že rozmer Kochovej krivky je zlomkový!

Veda a umenie

V roku 1982 vyšla Mandelbrotova kniha „Fractal Geometry of Nature“, v ktorej autor zozbieral a systematizoval takmer všetky v tom čase dostupné informácie o fraktáloch a prezentoval ich jednoduchým a prístupným spôsobom. Mandelbrot kládol vo svojej prezentácii hlavný dôraz nie na ťažké vzorce a matematické konštrukcie, ale na geometrickú intuíciu čitateľov. Vďaka ilustráciám získaným pomocou počítača a historickým príbehom, ktorými autor umne preriedil vedeckú zložku monografie, sa kniha stala bestsellerom a fraktály sa dostali do povedomia širokej verejnosti. Ich úspech medzi nematematikmi je do značnej miery spôsobený tým, že pomocou veľmi jednoduchých konštrukcií a vzorcov, ktorým rozumie aj stredoškolák, sa získavajú obrazy úžasnej zložitosti a krásy. Keď sa osobné počítače stali dostatočne výkonnými, objavil sa dokonca celý smer v umení - fraktálna maľba a mohol to urobiť takmer každý majiteľ počítača. Teraz na internete môžete ľahko nájsť veľa stránok venovaných tejto téme.

Schéma na získanie Kochovej krivky

Vojna a mier

Ako je uvedené vyššie, jedným z prírodných objektov, ktoré majú fraktálne vlastnosti, je pobrežie. S tým je spojený zaujímavý príbeh, presnejšie povedané, s pokusom zmerať jeho dĺžku, ktorý bol základom Mandelbrotovho vedeckého článku a je opísaný aj v jeho knihe „Fractal Geometry of Nature“. Hovoríme o experimente, ktorý uskutočnil Lewis Richardson, veľmi talentovaný a excentrický matematik, fyzik a meteorológ. Jedným zo smerov jeho výskumu bol pokus nájsť matematický popis príčin a pravdepodobnosti ozbrojeného konfliktu medzi dvoma krajinami. Medzi parametrami, ktoré bral do úvahy, bola aj dĺžka spoločnej hranice dvoch bojujúcich krajín. Keď zbieral údaje pre numerické experimenty, zistil, že údaje o spoločnej hranici Španielska a Portugalska sa z rôznych zdrojov veľmi líšia. To ho priviedlo k nasledujúcemu objavu: dĺžka hraníc krajiny závisí od pravítka, ktorým ich meriame. Čím menšia mierka, tým dlhší okraj. Dôvodom je skutočnosť, že s väčším zväčšením je možné brať do úvahy čoraz viac nových ohybov pobrežia, ktoré boli predtým ignorované z dôvodu hrubosti meraní. A ak sa pri každom zvýšení mierky odhalia predtým nezohľadnené ohyby čiar, potom sa ukáže, že dĺžka hraníc je nekonečná! Pravda, v skutočnosti sa to nedeje – presnosť našich meraní má konečnú hranicu. Tento paradox sa nazýva Richardsonov efekt.

Konštruktívne (geometrické) fraktály

Algoritmus na zostavenie konštruktívneho fraktálu vo všeobecnom prípade je nasledujúci. V prvom rade potrebujeme dva vhodné geometrické tvary, nazvime ich základ a úlomok. V prvej fáze je znázornený základ budúceho fraktálu. Potom sú niektoré jeho časti nahradené fragmentom vo vhodnej mierke - toto je prvá iterácia konštrukcie. Potom výsledný obrazec opäť zmení niektoré časti na obrazce podobné fragmentu atď. Ak budeme v tomto procese pokračovať do nekonečna, potom v limite dostaneme fraktál.

Pozrime sa na tento proces pomocou Kochovej krivky ako príkladu (pozri bočný panel na predchádzajúcej strane). Ako základ pre Kochovu krivku možno použiť akúkoľvek krivku (pre „Kochovu snehovú vločku“ je to trojuholník). Ale obmedzíme sa na najjednoduchší prípad - segment. Fragment je prerušovaná čiara, zobrazená na obrázku hore. Po prvej iterácii algoritmu sa v tomto prípade pôvodný segment zhoduje s fragmentom, potom sa každý z jeho základných segmentov sám nahradí prerušovanou čiarou podobnou fragmentu atď. Obrázok ukazuje prvé štyri kroky tohto proces.

V jazyku matematiky: dynamické (algebraické) fraktály

Fraktály tohto typu vznikajú pri štúdiu nelineárnych dynamických systémov (odtiaľ názov). Správanie takéhoto systému možno opísať komplexnou nelineárnou funkciou (polynómom) f (z). Zoberme si nejaký počiatočný bod z0 na komplexnej rovine (pozri bočný panel). Teraz zvážte takú nekonečnú postupnosť čísel v komplexnej rovine, z ktorých každé ďalšie je získané z predchádzajúcej: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). V závislosti od počiatočného bodu z0 sa takáto postupnosť môže správať rôzne: inklinovať k nekonečnu ako n -> ∞; konvergovať k nejakému koncovému bodu; cyklicky nadobúdať sériu pevných hodnôt; Možné sú aj komplexnejšie možnosti.

Komplexné čísla

Komplexné číslo je číslo pozostávajúce z dvoch častí - reálnej a imaginárnej, teda formálneho súčtu x + iy (x a y sú tu reálne čísla). ja je tzv imaginárnu jednotku, teda číslo, ktoré spĺňa rovnicu i^ 2 = -1. Definujú sa základné matematické operácie s komplexnými číslami: sčítanie, násobenie, delenie, odčítanie (nie je definovaná iba operácia porovnávania). Na zobrazenie komplexných čísel sa často používa geometrické znázornenie - v rovine (nazýva sa komplexná) sa skutočná časť vykreslí pozdĺž osi x a imaginárna časť sa vykreslí pozdĺž osi ordinátov a komplexné číslo bude zodpovedať bod s karteziánskymi súradnicami x a y.

Každý bod z komplexnej roviny má teda svoje vlastné správanie počas iterácií funkcie f (z) a celá rovina je rozdelená na časti. Navyše body ležiace na hraniciach týchto častí majú nasledujúcu vlastnosť: s ľubovoľne malým posunom sa povaha ich správania prudko mení (takéto body sa nazývajú bifurkačné body). Ukazuje sa teda, že množiny bodov, ktoré majú jeden špecifický typ správania, ako aj množiny bifurkačných bodov, majú často fraktálne vlastnosti. Toto sú Júliove množiny pre funkciu f (z).

Dračia rodina

Zmenou základne a fragmentu môžete získať ohromujúce množstvo konštruktívnych fraktálov.
Okrem toho je možné podobné operácie vykonávať v trojrozmernom priestore. Príklady volumetrických fraktálov zahŕňajú „Mengerovu špongiu“, „Sierpinského pyramídu“ a ďalšie.
Dračia rodina je tiež považovaná za konštruktívny fraktál. Niekedy sa nazývajú menom svojich objaviteľov „draci Heavey-Harter“ (svojím tvarom pripomínajú čínskych drakov). Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť túto krivku. Najjednoduchší a najviditeľnejší z nich je tento: musíte si vziať pomerne dlhý pás papiera (čím tenší papier, tým lepšie) a ohnúť ho na polovicu. Potom ho opäť ohnite na polovicu v rovnakom smere ako prvýkrát. Po niekoľkých opakovaniach (zvyčajne po piatich alebo šiestich prehyboch sa pás stane príliš hrubým na to, aby sa dal ešte jemne ohnúť), musíte pásik ohnúť späť a pokúsiť sa vytvoriť v záhyboch uhly 90˚. Potom v profile získate krivku draka. Samozrejme, bude to len aproximácia, ako všetky naše pokusy o zobrazenie fraktálnych objektov. Počítač umožňuje zobraziť oveľa viac krokov tohto procesu a výsledkom je veľmi krásna postava.

Súprava Mandelbrot je konštruovaná trochu inak. Uvažujme funkciu fc (z) = z 2 +c, kde c je komplexné číslo. Zostrojme postupnosť tejto funkcie so z0=0, v závislosti od parametra c môže divergovať do nekonečna alebo zostať obmedzená. Okrem toho všetky hodnoty c, pre ktoré je táto sekvencia obmedzená, tvoria Mandelbrotovu množinu. Podrobne ju študoval sám Mandelbrot a ďalší matematici, ktorí objavili mnohé zaujímavé vlastnosti tejto množiny.

Je vidieť, že definície množín Julia a Mandelbrot sú si navzájom podobné. V skutočnosti tieto dva súbory spolu úzko súvisia. Menovite, Mandelbrotova množina sú všetky hodnoty komplexného parametra c, pre ktoré je pripojená Juliova množina fc (z) (množina sa nazýva spojená, ak ju nemožno rozdeliť na dve disjunktné časti, s niektorými ďalšími podmienkami).

Fraktály a život

V súčasnosti je teória fraktálov široko používaná v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Okrem čisto vedeckého objektu na výskum a už spomínanej maľby fraktálov sa fraktály používajú v teórii informácie na kompresiu grafických dát (tu sa využíva hlavne vlastnosť sebapodobnosti fraktálov - predsa len na zapamätanie si malého fragmentu obrázku a transformácie, pomocou ktorých môžete získať zvyšné časti, vyžaduje oveľa menej pamäte ako na uloženie celého súboru). Pridaním náhodných porúch do vzorcov, ktoré definujú fraktál, môžete získať stochastické fraktály, ktoré veľmi hodnoverne sprostredkujú niektoré skutočné objekty - reliéfne prvky, povrch nádrží, niektoré rastliny, čo sa úspešne používa vo fyzike, geografii a počítačovej grafike na dosiahnutie väčších podobnosť simulovaných objektov so skutočnými. V rádioelektronike sa v poslednom desaťročí začali vyrábať antény s fraktálnym tvarom. Zaberajú málo miesta a poskytujú kvalitný príjem signálu. Ekonómovia používajú fraktály na opis kriviek fluktuácie meny (túto vlastnosť objavil Mandelbrot pred viac ako 30 rokmi). Týmto sa končí táto krátka exkurzia do úžasne krásneho a rozmanitého sveta fraktálov.

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Siverskaya stredná škola č. 3"

Výskum

matematiky.

Hotovo

Žiak 8.-1. ročníka

Emelin Pavel

Vedecký riaditeľ

učiteľ matematiky

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siverská dedina

rok 2014

Celá matematika je preniknutá krásou a harmóniou,

Túto krásu jednoducho musíte vidieť.

B. Mandelbrot

Úvod___________________________________________3-4pp.

Kapitola 1.história vzniku fraktálov._______5-6s.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov ______6-10pp.

Geometrické fraktály

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

Kapitola 3. "Fraktálna geometria prírody"______11-13s.

Kapitola 4. Aplikácia fraktálov________________13-15pp.

Kapitola 5 Praktická práca___________________16-24pp.

Záver__________________________________25.strana

Zoznam referencií a internetových zdrojov________26 stránok.

Úvod

matematika,

ak sa na to pozries spravne,

odráža nielen pravdu,

ale aj neporovnateľná krása.

Bertrand Russell

Slovo „fraktál“ je niečo, o čom v súčasnosti hovorí veľa ľudí, od vedcov až po stredoškolákov. Objavuje sa na obálkach mnohých učebníc matematiky, vedeckých časopisov a počítačových softvérov. Farebné obrázky fraktálov dnes nájdete všade: od pohľadníc, tričiek až po obrázky na ploche osobného počítača. Takže, aké sú tieto farebné tvary, ktoré vidíme okolo?

Matematika je najstaršia veda. Väčšina ľudí si myslela, že geometria v prírode je obmedzená na také jednoduché útvary, ako sú čiara, kruh, mnohouholník, guľa atď. Ako sa ukazuje, mnohé prírodné systémy sú také zložité, že používanie iba známych objektov bežnej geometrie na ich modelovanie sa zdá byť beznádejné. Ako sa dá napríklad z geometrie postaviť model pohoria alebo koruny stromu? Ako opísať diverzitu biologickej diverzity, ktorú pozorujeme vo svete rastlín a živočíchov? Ako si predstaviť zložitosť obehového systému, ktorý pozostáva z mnohých kapilár a ciev a dodáva krv do každej bunky ľudského tela? Predstavte si štruktúru pľúc a obličiek, ktorá svojou štruktúrou pripomína stromy s rozvetvenou korunou?

Fraktály sú vhodné nástroje na skúmanie týchto otázok. To, čo vidíme v prírode, nás často zaujme nekonečným opakovaním toho istého vzoru, niekoľkokrát zvýšeného alebo zníženého. Napríklad strom má konáre. Na týchto konároch sú menšie konáre atď. Teoreticky sa prvok vetvenia opakuje donekonečna a je stále menší. To isté možno vidieť pri pohľade na fotografiu horského terénu. Skúste sa priblížiť trochu bližšie k pohoriu --- opäť uvidíte hory. Takto sa prejavuje vlastnosť sebapodobnosti charakteristická pre fraktály.

Štúdium fraktálov otvára úžasné možnosti ako pri štúdiu nekonečného množstva aplikácií, tak aj v oblasti matematiky. Aplikácie fraktálov sú veľmi rozsiahle! Koniec koncov, tieto objekty sú také krásne, že ich používajú dizajnéri, umelci, pomocou ktorých sú v grafike nakreslené mnohé prvky: stromy, oblaky, hory atď. Ale fraktály sa dokonca používajú ako antény v mnohých mobilných telefónoch.

Pre mnohých chaológov (vedcov, ktorí študujú fraktály a chaos) to nie je len nová oblasť poznania, ktorá spája matematiku, teoretickú fyziku, umenie a výpočtovú techniku – je to revolúcia. Toto je objav nového typu geometrie, geometrie, ktorá opisuje svet okolo nás a ktorú možno vidieť nielen v učebniciach, ale aj v prírode a všade v bezhraničnom vesmíre..

Vo svojej práci som sa tiež rozhodla „dotknúť sa“ sveta krásy a odhodlaná...

Cieľ práce: vytváranie objektov, ktorých obrazy sú veľmi podobné prírodným.

Výskumné metódy: komparatívna analýza, syntéza, modelovanie.

Úlohy:

oboznámenie sa s pojmom, históriou vzniku a výskumom B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky a ďalší;

zoznámenie sa s rôznymi typmi fraktálových množín;

štúdium populárno-náučnej literatúry o tejto problematike, oboznámenie sa s

vedecké hypotézy;

nájdenie potvrdenia teórie fraktality okolitého sveta;

štúdium používania fraktálov v iných vedách av praxi;

vykonaním experimentu na vytvorenie vlastných fraktálových obrázkov.

Základná otázka práce:

Ukázať, že matematika nie je suchý, bezduchý predmet, dokáže vyjadrovať duchovný svet človeka jednotlivo aj v spoločnosti ako celku.

Predmet štúdia: Fraktálna geometria.

Predmet štúdia: fraktály v matematike a v reálnom svete.

Hypotéza: Všetko, čo existuje v reálnom svete, je fraktál.

Výskumné metódy: analytické, vyhľadávanie.

Relevantnosť Uvedená téma je daná predovšetkým predmetom skúmania, ktorým je fraktálna geometria.

Očakávané výsledky: V priebehu práce si budem môcť rozšíriť svoje znalosti v oblasti matematiky, vidieť krásu fraktálnej geometrie a začať pracovať na tvorbe vlastných fraktálov.

Výsledkom práce bude vytvorenie počítačovej prezentácie, newsletteru a bookletu.

Kapitola 1. História

B keď Mandelbrot

Koncept „fraktálu“ vynašiel Benoit Mandelbrot. Slovo pochádza z latinského „fractus“, čo znamená „zlomený, zlomený“.

Fraktál (lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) je pojem označujúci zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, teda zložený z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave.

Matematické objekty, na ktoré odkazuje, sa vyznačujú mimoriadne zaujímavými vlastnosťami. V bežnej geometrii má čiara jeden rozmer, plocha má dva rozmery a priestorový obrazec má tri rozmery. Fraktály nie sú čiary ani plochy, ale, ak si to viete predstaviť, niečo medzi tým. S rastúcou veľkosťou sa zväčšuje aj objem fraktálu, ale jeho rozmer (exponent) nie je celok, ale zlomková hodnota, a preto hranicou fraktálového útvaru nie je čiara: pri veľkom zväčšení je zrejmé, že je rozmazaný a pozostáva zo špirál a kučier, opakujúcich sa pri malom zväčšení samotnej postavy. Táto geometrická pravidelnosť sa nazýva mierková invariancia alebo sebepodobnosť. To je to, čo určuje zlomkovú dimenziu fraktálov.

Pred príchodom fraktálnej geometrie sa veda zaoberala systémami obsiahnutými v troch priestorových dimenziách. Vďaka Einsteinovi sa ukázalo, že trojrozmerný priestor je len modelom reality, a nie skutočnosťou samotnou. V skutočnosti sa náš svet nachádza v štvorrozmernom časopriestorovom kontinuu.
Vďaka Mandelbrotovi sa ukázalo, ako vyzerá štvorrozmerný priestor, obrazne povedané, fraktálna tvár Chaosu. Benoit Mandelbrot zistil, že štvrtá dimenzia zahŕňa nielen prvé tri dimenzie, ale aj (to je veľmi dôležité!) intervaly medzi nimi.

Rekurzívna (alebo fraktálna) geometria nahrádza euklidovskú geometriu. Nová veda je schopná opísať skutočnú povahu telies a javov. Euklidovská geometria sa zaoberala iba umelými, imaginárnymi objektmi patriacimi do troch dimenzií. Len štvrtá dimenzia ich dokáže premeniť na realitu.

Kvapalina, plyn, pevná látka - tri známe fyzikálne stavy hmoty existujúce v trojrozmernom svete. Aký je však rozmer oblaku dymu, oblaku, alebo presnejšie ich hraníc, neustále erodovaných turbulentným pohybom vzduchu?

V zásade sú fraktály rozdelené do troch skupín:

Algebraické fraktály

Stochastické fraktály

Geometrické fraktály

Pozrime sa bližšie na každý z nich.

Kapitola 2. Klasifikácia fraktálov

Geometrické fraktály

Benoit Mandelbrot navrhol fraktálový model, ktorý sa už stal klasikou a často sa používa na demonštráciu typického príkladu samotného fraktálu a na demonštráciu krásy fraktálov, čo priťahuje aj výskumníkov, umelcov a jednoducho záujemcov.

Tu sa začala história fraktálov. Tento typ fraktálov sa získava jednoduchými geometrickými konštrukciami. Zvyčajne pri konštrukcii týchto fraktálov robia toto: berú „semeno“ - axiómu - množinu segmentov, na základe ktorých bude fraktál zostavený. Ďalej sa na toto „semeno“ aplikuje súbor pravidiel, ktoré ho premenia na nejaký druh geometrického útvaru. Potom sa rovnaký súbor pravidiel znova použije na každú časť tohto obrázku. Každým krokom bude obrazec čoraz zložitejší a ak vykonáme (aspoň v našej mysli) nekonečné množstvo transformácií, dostaneme geometrický fraktál.

Fraktály tejto triedy sú najvizuálnejšie, pretože sebapodobnosť je v nich okamžite viditeľná v akejkoľvek mierke pozorovania. V dvojrozmernom prípade sa takéto fraktály dajú získať špecifikovaním prerušovanej čiary nazývanej generátor. V jednom kroku algoritmu sa každý zo segmentov, ktoré tvoria lomenú čiaru, nahradí generátorovou líniou vo vhodnej mierke. V dôsledku nekonečného opakovania tohto postupu (alebo presnejšie pri prechode na limit) sa získa fraktálna krivka. Napriek zjavnej zložitosti výslednej krivky je jej celkový vzhľad určený iba tvarom generátora. Príklady takýchto kriviek sú: Kochova krivka (obr. 7), Peanova krivka (obr. 8), Minkowského krivka.

Na začiatku dvadsiateho storočia hľadali matematici krivky, ktoré v žiadnom bode nemajú dotyčnicu. To znamenalo, že krivka náhle zmenila svoj smer a enormne vysokou rýchlosťou (derivácia sa rovnala nekonečnu). Hľadanie týchto kriviek nebolo spôsobené len nečinným záujmom matematikov. Faktom je, že na začiatku dvadsiateho storočia sa kvantová mechanika veľmi rýchlo rozvíjala. Výskumník M. Brown načrtol trajektóriu pohybu suspendovaných častíc vo vode a vysvetlil tento jav nasledovne: náhodne sa pohybujúce atómy kvapaliny narážajú na suspendované častice a tým ich uvádzajú do pohybu. Po tomto vysvetlení Brownovho pohybu stáli vedci pred úlohou nájsť krivku, ktorá by najlepšie znázorňovala pohyb Brownových častíc. Aby to bolo možné, krivka musela spĺňať nasledujúce vlastnosti: nemať v žiadnom bode dotyčnicu. Matematik Koch navrhol jednu takúto krivku.

TO Kochova krivka je typický geometrický fraktál. Proces jeho konštrukcie je nasledovný: vezmeme jeden segment, rozdelíme ho na tri rovnaké časti a nahradíme stredný interval rovnostranným trojuholníkom bez tohto segmentu. V dôsledku toho sa vytvorí prerušovaná čiara pozostávajúca zo štyroch článkov dĺžky 1/3. V ďalšom kroku operáciu zopakujeme pre každý zo štyroch výsledných odkazov atď...

Limitná krivka je Kochova krivka.

Snehová vločka Koch. Vykonaním podobnej transformácie na stranách rovnostranného trojuholníka môžete získať fraktálny obraz Kochovej snehovej vločky.

T
Ďalším jednoduchým predstaviteľom geometrického fraktálu je Námestie Sierpinski. Je skonštruovaný celkom jednoducho: Štvorec je rozdelený rovnými čiarami rovnobežnými s jeho stranami na 9 rovnakých štvorcov. Centrálne námestie je odstránené z námestia. Výsledkom je sada pozostávajúca z 8 zostávajúcich polí „prvej hodnosti“. Ak urobíme presne to isté s každým zo štvorcov prvého radu, získame súbor pozostávajúci zo 64 políčok druhého radu. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, získame nekonečnú postupnosť alebo Sierpinského štvorec.

Algebraické fraktály

Toto je najväčšia skupina fraktálov. Algebraické fraktály dostali svoje meno, pretože sú konštruované pomocou jednoduchých algebraických vzorcov.

Získavajú sa pomocou nelineárnych procesov v n-rozmerné priestory. Je známe, že nelineárne dynamické systémy majú niekoľko stabilných stavov. Stav, v ktorom sa dynamický systém nachádza po určitom počte iterácií, závisí od jeho počiatočného stavu. Preto má každý stabilný stav (alebo, ako sa hovorí, atraktor) určitú oblasť počiatočných stavov, z ktorých systém nevyhnutne spadne do uvažovaných konečných stavov. Fázový priestor systému je teda rozdelený na oblasti príťažlivosti atraktory. Ak je fázový priestor dvojrozmerný, potom je možné získať zafarbením oblastí príťažlivosti rôznymi farbami portrét farebnej fázy tento systém (iteratívny proces). Zmenou algoritmu výberu farieb môžete získať zložité fraktálne vzory s bizarnými viacfarebnými vzormi. Čo bolo pre matematikov prekvapením, bola schopnosť vytvárať veľmi zložité štruktúry pomocou primitívnych algoritmov.

Ako príklad uveďme Mandelbrotovu sadu. Stavajú ho pomocou komplexných čísel.

Časť hranice Mandelbrotovej množiny, zväčšená 200-krát.

Sada Mandelbrot obsahuje body, ktoré počasnekonečné počet iterácií nejde do nekonečna (body, ktoré sú čierne). Body patriace k hranici množiny(tu vznikajú zložité štruktúry) idú do nekonečna v konečnom počte iterácií a body ležiace mimo množiny idú po niekoľkých iteráciách do nekonečna (biele pozadie).

P

Príkladom iného algebraického fraktálu je množina Julia. Existujú 2 odrody tohto fraktálu. Prekvapivo sú množiny Julia tvorené pomocou rovnakého vzorca ako množina Mandelbrot. Súpravu Julia vynašiel francúzsky matematik Gaston Julia, po ktorom bola zostava pomenovaná.

A
zaujímavý fakt, niektoré algebraické fraktály nápadne pripomínajú obrazy zvierat, rastlín a iných biologických objektov, v dôsledku čoho sa nazývajú biomorfy.

Stochastické fraktály

Typickým predstaviteľom tejto skupiny fraktálov je „plazma“.

D
Ak ho chcete zostrojiť, vezmite obdĺžnik a každému z jeho rohov priraďte farbu. Potom sa nájde stredový bod obdĺžnika a vyfarbí sa farbou rovnajúcou sa aritmetickému priemeru farieb v rohoch obdĺžnika plus nejaké náhodné číslo. Čím väčšie je náhodné číslo, tým bude kresba „roztrhanejšia“. Ak predpokladáme, že farba bodu je nadmorská výška, namiesto plazmy dostaneme pohorie. Práve na tomto princípe sú hory modelované vo väčšine programov. Pomocou algoritmu podobného plazme sa zostaví výšková mapa, aplikujú sa na ňu rôzne filtre, aplikuje sa textúra a sú pripravené fotorealistické hory

E
Ak sa pozrieme na tento fraktál v priereze, uvidíme, že tento fraktál je objemový a má „drsnosť“, práve kvôli tejto „drsnosti“ je veľmi dôležité použitie tohto fraktálu.

Povedzme, že potrebujete opísať tvar hory. Tu nepomôžu obyčajné obrazce z euklidovskej geometrie, pretože neberú do úvahy topografiu povrchu. Ale keď skombinujete konvenčnú geometriu s fraktálnou geometriou, môžete získať „hrubosť“ hory. Potrebujeme naniesť plazmu na pravidelný kužeľ a získame reliéf hory. Takéto operácie je možné vykonávať s mnohými inými objektmi v prírode, vďaka stochastickým fraktálom možno popísať samotnú prírodu.

Teraz si povedzme niečo o geometrických fraktáloch.

Kapitola 3 "Fraktálna geometria prírody"

" Prečo sa geometria často nazýva "studená" a "suchá"? Jedným z dôvodov je, že nedokáže opísať tvar oblaku, hory, pobrežia alebo stromu. Mraky nie sú gule, hory nie sú kužele, pobrežia nie sú kruhy, kôra stromov nie je plynulý, blesky sa nešíria priamočiaro. Vo všeobecnosti tvrdím, že mnohé objekty v prírode sú tak nepravidelné a roztrieštené, že v porovnaní s Euklidom – termín, ktorý v tejto práci znamená všetku štandardnú geometriu – príroda nemá len väčšiu zložitosť , ale zložitosť na úplne inej úrovni. Množstvo rôznych dĺžkových mierok prírodných objektov je pre všetky praktické účely nekonečné.“

(Benoit Mandelbrot "Fraktálna geometria prírody" ).

TO Krása fraktálov je dvojaká: lahodí oku, o čom svedčí celosvetová výstava fraktálových obrázkov, ktorú zorganizovala skupina brémskych matematikov pod vedením Peitgena a Richtera. Neskôr boli exponáty tejto veľkolepej výstavy zachytené v ilustráciách ku knihe od tých istých autorov „Krása fraktálov“. Existuje však aj iný, abstraktnejší alebo vznešenejší aspekt krásy fraktálov, ktorý je podľa R. Feynmana otvorený iba mentálnemu pohľadu teoretika; v tomto zmysle sú fraktály krásne kvôli kráse zložitého matematického problému. . Benoit Mandelbrot upozornil svojich súčasníkov (a pravdepodobne aj jeho potomkov) na nepríjemnú medzeru v Euklidových prvkoch, cez ktorú bez povšimnutia tohto vynechania takmer dve tisícročia ľudstva pochopilo geometriu okolitého sveta a naučilo sa matematickej náročnosti prezentácie. Samozrejme, oba aspekty krásy fraktálov spolu úzko súvisia a nevylučujú sa, ale dopĺňajú, hoci každý z nich je sebestačný.

Fraktálna geometria prírody podľa Mandelbrota je skutočnou geometriou, ktorá spĺňa definíciu geometrie navrhnutú v Erlangenovom programe F. Kleinom. Faktom je, že pred príchodom neeuklidovskej geometrie N.I. Lobačevskij – L. Bolyai, existovala len jedna geometria – tá, ktorá bola stanovená v „Princípoch“ a otázka, čo je geometria a ktorá z geometrií je geometriou skutočného sveta, nevznikla a ani nemohla. vznikajú. S príchodom ďalšej geometrie však vyvstala otázka, čo je geometria vo všeobecnosti a ktorá z mnohých geometrií zodpovedá skutočnému svetu. Geometria sa podľa F. Kleina zaoberá štúdiom takých vlastností objektov, ktoré sú pri transformáciách invariantné: Euklidovské - invarianty skupiny pohybov (premeny, ktoré nemenia vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi, t. j. predstavujú superpozíciu paralelných translácií). a rotácie so zmenou orientácie alebo bez nej), geometria Lobačevského-Bolyaiho - invarianty Lorentzovej skupiny. Fraktálna geometria sa zaoberá štúdiom invariantov skupiny sebaafinných transformácií, t.j. vlastnosti vyjadrené mocenskými zákonmi.

Čo sa týka zhody s reálnym svetom, fraktálna geometria popisuje veľmi širokú triedu prírodných procesov a javov, a preto môžeme podľa B. Mandelbrota právom hovoriť o fraktálnej geometrii prírody. Nové - fraktálne objekty majú nezvyčajné vlastnosti. Dĺžky, plochy a objemy niektorých fraktálov sú nulové, zatiaľ čo iné sa otáčajú do nekonečna.

Príroda často vytvára úžasné a nádherné fraktály, s ideálnou geometriou a takou harmóniou, že vás jednoducho mrazí od obdivu. A tu sú ich príklady:

Morské mušle

Blesk obdivovať ich krásou. Fraktály vytvorené bleskom nie sú ľubovoľné ani pravidelné

Fraktálny tvar poddruh karfiolu(Brassica cauliflora). Tento konkrétny druh je obzvlášť symetrický fraktál.

P papraď je tiež dobrým príkladom fraktálu medzi flórou.

Pávy každý je známy svojim farebným perím, v ktorom sú ukryté pevné fraktály.

Ľadové, mrazivé vzory na oknách sú to tiež fraktály

O
t zväčšený obrázok list, predtým konáre stromu- fraktály sa dajú nájsť vo všetkom

Fraktály sú všade a všade v prírode okolo nás. Celý vesmír je postavený podľa úžasne harmonických zákonov s matematickou presnosťou. Je možné si potom myslieť, že naša planéta je náhodným zreťazením častíc? Sotva.

Kapitola 4. Aplikácia fraktálov

Fraktály nachádzajú stále viac aplikácií vo vede. Hlavným dôvodom je to, že opisujú skutočný svet niekedy dokonca lepšie ako tradičná fyzika alebo matematika. Tu je niekoľko príkladov:

O
dni najvýkonnejších aplikácií fraktálov ležia v počítačová grafika. Toto je kompresia fraktálnych obrázkov. Moderná fyzika a mechanika práve začínajú študovať správanie fraktálnych objektov.

Výhody algoritmov kompresie fraktálnych obrázkov sú veľmi malá veľkosť zbaleného súboru a krátky čas obnovy obrázka. Fraktálne zabalené obrázky je možné zmenšiť bez toho, aby sa objavili pixelácie (zlá kvalita obrazu – veľké štvorce). Proces kompresie však trvá dlho a niekedy trvá aj hodiny. Algoritmus stratového balenia fraktálov vám umožňuje nastaviť úroveň kompresie podobne ako vo formáte jpeg. Algoritmus je založený na hľadaní veľkých častí obrazu, ktoré sú podobné niektorým malým častiam. A do výstupného súboru sa zapíše len to, ktorý kus je tomu podobný. Pri kompresii sa zvyčajne používa štvorcová sieť (kusy sú štvorce), čo vedie k miernemu hranatosti pri obnove obrazu, šesťuholníková sieť túto nevýhodu nemá.

Iterated vyvinul nový obrazový formát „Sting“, ktorý kombinuje fraktálovú a „vlnovú“ (napríklad jpeg) bezstratovú kompresiu. Nový formát umožňuje vytvárať obrázky s možnosťou následného kvalitného škálovania a objem grafických súborov je 15-20% objemu nekomprimovaných obrázkov.

V mechanike a fyzike Fraktály sa používajú kvôli ich jedinečnej vlastnosti opakovania obrysov mnohých prírodných objektov. Fraktály vám umožňujú aproximovať stromy, horské povrchy a trhliny s vyššou presnosťou ako aproximácie pomocou množín segmentov alebo polygónov (s rovnakým množstvom uložených údajov). Fraktálne modely, podobne ako prírodné objekty, majú „drsnosť“ a táto vlastnosť je zachovaná bez ohľadu na to, aké veľké je zväčšenie modelu. Prítomnosť jednotnej miery na fraktáloch umožňuje aplikovať integráciu, teóriu potenciálu a použiť ich namiesto štandardných objektov v už študovaných rovniciach.

T
Používa sa aj fraktálna geometria navrhovanie anténnych zariadení. Prvýkrát to využil americký inžinier Nathan Cohen, ktorý vtedy žil v centre Bostonu, kde bola inštalácia externých antén na budovy zakázaná. Cohen vyrezal tvar Kochovej krivky z hliníkovej fólie a potom ho nalepil na kus papiera a potom ho pripevnil k prijímaču. Ukázalo sa, že takáto anténa nefunguje horšie ako bežná. A hoci fyzikálne princípy takejto antény ešte neboli preskúmané, Cohenovi to nezabránilo v založení vlastnej spoločnosti a spustení ich sériovej výroby. V súčasnosti americká spoločnosť „Fractal Antenna System“ vyvinula nový typ antény. Teraz môžete prestať používať vyčnievajúce externé antény v mobilných telefónoch. Takzvaná fraktálna anténa je umiestnená priamo na hlavnej doske vo vnútri zariadenia.

Existuje aj veľa hypotéz o využití fraktálov – fraktálne vlastnosti má napríklad aj lymfatický a obehový systém, pľúca a mnohé ďalšie.

Kapitola 5. Praktická práca.

Najprv sa pozrime na fraktály „Náhrdelník“, „Víťazstvo“ a „Štvorec“.

Najprv - "náhrdelník"(obr. 7). Iniciátorom tohto fraktálu je kruh. Tento kruh pozostáva z určitého počtu rovnakých kruhov, ale menších veľkostí, a sám je jedným z niekoľkých kruhov, ktoré sú rovnaké, ale väčších veľkostí. Vzdelávací proces je teda nekonečný a môže sa vykonávať v jednom aj v opačnom smere. Tie. postavu je možné zväčšiť zobratím len jedného malého oblúka alebo ju zmenšiť tak, že zvažujeme jej konštrukciu z menších.

ryža. 7.

Fraktálny "Náhrdelník"

Druhý fraktál je "víťazstvo"(obr. 8). Dostalo toto meno, pretože vyzerá ako latinské písmeno „V“, teda „víťazstvo“. Tento fraktál pozostáva z určitého počtu malých „vs“, ktoré tvoria jedno veľké „V“ a v ľavej polovici, v ktorej sú malé umiestnené tak, že ich ľavé polovice tvoria jednu priamku, je pravá časť zostrojená v rovnakým spôsobom. Každé z týchto „v“ je zostavené rovnakým spôsobom a pokračuje v tomto donekonečna.

Obr.8. Fraktálne "víťazstvo"

Tretí fraktál je "Štvorec" (obr. 9). Každá jeho strana pozostáva z jedného radu buniek v tvare štvorcov, ktorých strany tiež predstavujú rady buniek atď.

Obr. 9. Fraktál „Štvorec“

Fraktál bol nazvaný „Ruža“ (obr. 10), kvôli jeho vonkajšej podobnosti s týmto kvetom. Konštrukcia fraktálu zahŕňa konštrukciu série sústredných kružníc, ktorých polomer sa mení v pomere k danému pomeru (v tomto prípade R m / R b = ¾ = 0,75.). Potom je do každého kruhu vpísaný pravidelný šesťuholník, ktorého strana sa rovná polomeru kruhu opísaného okolo neho.

Ryža. 11. Fraktál "Ruža *"

Ďalej sa obrátime na pravidelný päťuholník, v ktorom nakreslíme jeho uhlopriečky. Potom vo výslednom päťuholníku na priesečníku zodpovedajúcich segmentov opäť nakreslíme uhlopriečky. Pokračujme v tomto procese donekonečna a získame fraktál „Pentagram“ (obr. 12).

Zavedieme prvok kreativity a náš fraktál bude mať podobu viac vizuálneho objektu (obr. 13).

R
je. 12. Fraktál „Pentagram“.

Ryža. 13. Fraktál "Pentagram *"

Ryža. 14 fraktálov „Čierna diera“

Experiment č. 1 „Strom“

Teraz, keď som pochopil, čo je fraktál a ako ho zostaviť, som sa pokúsil vytvoriť si vlastné obrázky fraktálov. V Adobe Photoshop som vytvoril malý podprogram alebo akciu, zvláštnosťou tejto akcie je, že opakuje akcie, ktoré robím, a takto získam fraktál.

Na začiatok som vytvoril pozadie pre náš budúci fraktál s rozlíšením 600 x 600. Potom som na toto pozadie nakreslil 3 čiary - základ nášho budúceho fraktálu.

SĎalším krokom je napísanie skriptu.

duplikovať vrstvu ( vrstva > duplikát) a zmeňte typ miešania na " Obrazovka" .

Zavolajme mu" fr1". Skopírujte túto vrstvu (" fr1") ešte 2 krát.

Teraz musíme prejsť na poslednú vrstvu (fr3) a dvakrát ho zlúčte s predchádzajúcim ( Ctrl+E). Znížte jas vrstvy ( Obrázok > Úpravy > Jas/Kontrast , nastavený jas 50% ). Opäť sa spojte s predchádzajúcou vrstvou a orežte okraje celého výkresu, aby ste odstránili neviditeľné časti.

Posledným krokom bolo skopírovať tento obrázok a vložiť ho menší a otočený. Toto je konečný výsledok.

Záver

Táto práca je úvodom do sveta fraktálov. Uvažovali sme len o najmenšej časti toho, čo sú fraktály a na základe akých princípov sú postavené.

Fraktálna grafika nie je len súborom samo sa opakujúcich obrázkov, je to model štruktúry a princípu akejkoľvek existujúcej veci. Celý náš život predstavujú fraktály. Z nich pozostáva celá príroda okolo nás. Nie je možné nevšimnúť si rozšírené používanie fraktálov v počítačových hrách, kde reliéfy terénu sú často fraktálne obrázky založené na trojrozmerných modeloch zložitých súborov. Fraktály výrazne uľahčujú kreslenie počítačovej grafiky, pomocou fraktálov sa vytvára množstvo špeciálnych efektov, rôzne rozprávkové a neuveriteľné obrázky atď. Tiež stromy, oblaky, pobrežia a všetka iná príroda sú nakreslené pomocou fraktálnej geometrie. Fraktálna grafika je potrebná všade a vývoj „fraktálnych technológií“ je dnes jednou z dôležitých úloh.

V budúcnosti sa plánujem naučiť zostavovať algebraické fraktály, keď budem podrobnejšie študovať komplexné čísla. Chcem sa tiež pokúsiť vytvoriť si vlastné fraktálne obrázky v programovacom jazyku Pascal pomocou slučiek.

Za zmienku stojí použitie fraktálov v počítačovej technike, okrem jednoduchého vytvárania krásnych obrázkov na obrazovke počítača. Fraktály vo výpočtovej technike sa používajú v nasledujúcich oblastiach:

1. Kompresia obrázkov a informácií

2. Skrytie informácií v obraze, zvuku,…

3. Šifrovanie údajov pomocou fraktálových algoritmov

4. Tvorba fraktálnej hudby

5. Modelovanie systému

Naša práca neuvádza všetky oblasti ľudského poznania, kde našla teória fraktálov svoje uplatnenie. Chceme len povedať, že od vzniku teórie neuplynulo viac ako tretina storočia, no počas tejto doby sa fraktály pre mnohých výskumníkov stali náhlym jasným svetlom v noci, ktoré osvetľovalo doteraz neznáme fakty a vzorce v konkrétnych oblastiach údajov. . Pomocou teórie fraktálov začali vysvetľovať vývoj galaxií a vývoj buniek, vznik hôr a vznik oblakov, pohyb cien na burze a vývoj spoločnosti a rodiny. Možno, že spočiatku bola táto vášeň pre fraktály až príliš intenzívna a pokusy vysvetliť všetko pomocou teórie fraktálov boli neopodstatnené. Ale táto teória má bezpochyby právo na existenciu a ľutujeme, že sa na ňu v poslednom čase akosi zabudlo a zostala súčasťou elity. Pri príprave tejto práce bolo pre nás veľmi zaujímavé nájsť aplikácie TEÓRIE v PRAXI. Pretože veľmi často existuje pocit, že teoretické vedomosti stoja mimo životnej reality.

Koncept fraktálov sa tak stáva nielen súčasťou „čistej“ vedy, ale aj prvkom univerzálnej ľudskej kultúry. Fraktálna veda je stále veľmi mladá a má pred sebou veľkú budúcnosť. Krása fraktálov nie je ani zďaleka vyčerpaná a stále nám poskytne mnoho majstrovských diel – tých, ktoré lahodia oku, aj tých, ktoré prinášajú skutočné potešenie do mysle.

10. Referencie

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktály a multifraktály. RHD 2001 .

Vitolin D. Aplikácia fraktálov v počítačovej grafike. // Počítačový svet-Rusko.-1995

Mandelbrot B. Sebaafinné sady fraktálov, „Fractals in Physics“. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktálna geometria prírody. - M.: "Ústav počítačového výskumu", 2002.

Morozov A.D. Úvod do teórie fraktálov. N. Novgorod: Vydavateľstvo Nižný Novgorod. Univerzita 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Krása fraktálov. - M.: "Mir", 1993.

Internetové zdroje

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html